Câu 1 (5.0 điểm). Cho đa thức $P(x)=x^{2027}-x^{2026}+x$ và số thực $a_1\in (0,1)$. Xét dãy số $(a_n)$ xác định bởi $P(a_{n+1})=a_n$ với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Chứng minh rằng dãy số $(a_n)$ xác định duy nhất và ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=1$.

Câu 2 (5.0 điểm). Cho tam giác $ABC$ nhọn, $AB<AC$, đường tròn tâm $I$ nội tiếp tam giác tiếp xúc với cạnh $BC$ tại $D$. $AD$ cắt $(I)$ tại điểm thứ hai $E\ne D$. Tiếp tuyến tại $E$ của $(I)$ cắt $AB$, $AC$ tại $M$, $N$. Đường thẳng qua $N$ vuông góc với $MN$ cắt $MI$ tại $P$, đường thẳng qua $N$ vuông góc với $AC$ cắt $CI$ tại $Q$.

a) Chứng minh rằng $BN\perp PQ$.

b) Gọi $K=CM\cap BN$, $L$ là trung điểm của $PQ$. Chứng minh rằng $K$, $I$, $L$ thẳng hàng.

Câu 3 (5.0 điểm). Một số nguyên dương $n$ gọi là “hoàn hảo” nếu tổng tất cả các ước dương của $n$ gấp đôi nó.

a) Chứng minh rằng số nguyên dương chẵn $n$ là số “hoàn hảo” khi và chỉ khi $n$ có dạng $n=2^{p-1}(2^p-1)$ với $p$ và $2^p-1$ là số nguyên tố.

b) Chứng minh rằng không thể có số nguyên dương lẻ $n$ nào “hoàn hảo” mà có đúng 3 ước nguyên tố phân biệt.

Câu 4 (5.0 điểm). Cho $n$ là một số nguyên dương. Một hình vuông được chia thành $n\times n$ ô vuông đơn vị. Các giao điểm của những đường kẻ trong hình gọi là nút lưới. Ta chỉ di chuyển từ một nút lưới đến một nút lưới kề nó dọc theo một cạnh của ô vuông. Một đường đi nối hai nút được gọi là ngắn nhất nếu nó sử dụng ít bước di chuyển nhất. Một tập các nút lưới được gọi là “tốt” nếu với hai nút phân biệt bất kỳ thuộc tập đó, số đường đi ngắn nhất nối hai nút ấy là một số lẻ.

a) Giả sử $n$ là lũy thừa của 2. Chứng minh rằng tồn tại một tập tốt gồm $2n$ nút lưới.

b) Với $n$ tùy ý, hãy xác định số nút lưới lớn nhất có thể có trong một tập tốt.