Trên mặt phẳng tọa độ giả lập cho một trò chơi điện tử, Bảo Long và Châu Mai cùng điều khiển một chiếc xe. Ban đầu, xe ở gốc tọa độ và hướng về chiều dương của trục $Ox$. Xe có thể đi theo một trong bốn hướng: lên, xuống, trái, phải. Hai bạn chơi luân phiên thực hiện các lượt đi như sau:

- Long cho xe đi thẳng theo hướng hiện tại với độ dài đường đi là số nguyên tùy ý từ 1 đến 10.
- Mai không di chuyển mà quay xe một góc $90^{\circ }$ cùng chiều hoặc ngược chiều kim đồng hồ.

Biết rằng Long đi trước và thực hiện tổng cộng $k$ lượt. Sau mỗi lượt của Long, hệ thống ghi nhận lại vị trí đỗ xe. Nếu có một vị trí đỗ nào trùng với vị trí được ghi nhận trước đó (kể cả gốc tọa độ) thì Mai thắng, nếu không thì Long thắng. Hãy xác định người có chiến thuật thắng nếu:

(1) $k=20$.

(2) $k=400$.

Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân, nội tiếp đường tròn $(O)$ và có tâm đường tròn nội tiếp $I$. Kẻ phân giác $B{B}^{\prime }$, $C{C}^{\prime }$ của tam giác $ABC$, trong đó $B^{\prime },C^{\prime }\in (O)$. Gọi $d$ là đường thẳng qua $I$, vuông góc $OI$. Giả sử $d$ cắt các đoạn thẳng $AB,BC,B^{\prime }{C}^{\prime }$ lần lượt ở $E,D,H$ và cắt tia đối của tia $AC$ ở $F$. Trên $(O)$ lấy điểm $L$ sao cho $AL$ song song với $d$. Gọi $A^{\prime }$ là trung điểm của cung lớn $BC$ của $(O)$ và $A^{\prime }I$ cắt lại $(O)$ tại $K$.

(1) Chứng minh rằng $AH=HI=ID=DL=DK$.

(2) Gọi $J$ là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$. Lấy điểm $G$ trên $(O)$ sao cho $HG$ vuông góc $IJ$ và lấy các điểm $R,S$ trên $(O)$ sao cho $GI=GR=GS$. Giả sử rằng $A,G$ nằm khác phía nhau so với đường thẳng $RS$. Chứng minh rằng $AG,RS$ cắt nhau tại một điểm trên $(J)$.

Gọi một đa thức hệ số thực là monic nếu nó có hệ số của bậc cao nhất bằng 1.
(1) Xây dựng đa thức $f(x)$ có hệ số nguyên, bậc 29, monic, $2026\mid f(0)$ sao cho: $\forall n\in {\mathbb{Z}}^{+}$ mà $3\mid f(n)$ thì đều có $3^{42}\mid f(n)$.
(2) Cho số nguyên dương $k>1$ và số nguyên tố $p$ lẻ. Chứng minh rằng $k+v_p(k!)$ là giá trị lớn nhất của số nguyên dương $m$ sao cho tồn tại đa thức $f(x)$ hệ số nguyên bậc $k$, monic, $p\mid f(0)$ và thỏa mãn: $\forall n\in {\mathbb{Z}}^{+}$ mà $p\mid f(n)$ thì đều có $p^m\mid f(n)$.