Cho các dãy số $(x_n),(y_n),(z_n)$ được xác định bởi $x_1=3$, $y_1=4$, $z_1=5$ và
$$x_{n+1}=\frac{x_n+y_n}{2},y_{n+1}=\frac{y_n+z_n}{2},z_{n+1}=\frac{z_n+x_n}{2},\forall n\ge 1$$
(1) Chứng minh ba số $x_n,y_n,z_n$ là độ dài ba cạnh của tam giác có chu vi bằng 12 với mọi $n\ge 1$.
(2) Đặt $d_n=(x_n-y_n{)}^2+(y_n-z_n{)}^2+(z_n-x_n{)}^2$. Chứng minh dãy $(d_n)$ hội tụ và tính ${\lim }_{n\to \infty }{d}_n$.

Cho đa thức
$$P(x)=a_{2026}{x}^{2026}+\cdots +a_{1}x+a_0,$$
trong đó $a_i\in \{1,3\}$ với mọi $i=0,1,\dots ,2026$. Gọi $m$ là số hệ số của $P(x)$ bằng 3.
(1) Giả sử $P(x)$ chia hết cho $x^2+x+1$. Chứng minh rằng $m\ne 0,1$.
(2) Giả sử $P(x)$ có nghiệm nguyên. Chứng minh rằng $m$ là số chẵn.

Với mỗi số nguyên dương $c$, xét hàm $g_c:{\mathbb{N}}^{\ast }\to {\mathbb{N}}^{\ast }$ xác định bởi
$$g_c(n)=\sum _{i=1}^c\phi (n+i),$$
trong đó $\phi$ là hàm phi Euler.
(1) Tìm tất cả $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ sao cho $g_4(n)=10$.
(2) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $c$, không tồn tại $T\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ sao cho $g_c(n)$ nhận mọi giá trị thuộc khoảng $(T,+\infty )$.

Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$. Đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc với các cạnh $BC,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F$. Qua $A$ kẻ đường thẳng song song với $BC$, cắt $(O)$ lần thứ hai tại $T$. Đường thẳng $TD$ cắt $(O)$ lần thứ hai tại $J$.
(1) Gọi $N$ là trung điểm của $BC$ và $X$ là giao điểm thứ hai của $AN$ với $(O)$. Chứng minh rằng ba đường thẳng $EF,BC,JX$ đồng quy.
(2) Gọi $P,Q$ lần lượt là giao điểm thứ hai của $JE,JF$ với $(O)$. Gọi $M$ là giao điểm thứ hai của $AI$ với $(O)$. Chứng minh rằng đường thẳng qua $A$ và vuông góc với $PQ$ đi qua trung điểm của đoạn thẳng $MN$.