Cho đa thức
$$P(x)=a_{2026}{x}^{2026}+\cdots +a_{1}x+a_0,$$
trong đó $a_i\in \{1,3\}$ với mọi $i=0,1,\dots ,2026$. Gọi $m$ là số hệ số của $P(x)$ bằng 3.
(1) Giả sử $P(x)$ chia hết cho $x^2+x+1$. Chứng minh rằng $m\ne 0,1$.
(2) Giả sử $P(x)$ có nghiệm nguyên. Chứng minh rằng $m$ là số chẵn.

(1) Đặt $S(x)=1+x+x^2+\cdots +x^{2026}$. Gọi $A$ là tập các chỉ số $i$ sao cho $a_i=3$. Khi đó $|A|=m$ và
$$P(x)=2S(x)+\sum _{i\in A}{x}^i.$$
Để ý $x^3\equiv 1(\mathrm{mod}{x}^2+x+1)$, suy ra
$$S(x)\equiv 1+x(\mathrm{mod}{x}^2+x+1).$$
Nếu $m=0$ thì $P(x)=2S(x)$, do đó $P(x)\equiv 2+2x\not\equiv 0(\mathrm{mod}{x}^2+x+1)$, vô lý.
Nếu $m=1$, giả sử hệ số duy nhất bằng 3 là $a_k$. Khi đó
$$P(x)=2S(x)+x^k\equiv \{\begin{array}{ll}3+2x,& k\equiv 0(\mathrm{mod}3)\\ 2+3x,& k\equiv 1(\mathrm{mod}3)\\ 2+2x+x^2\equiv 1+x,& k\equiv 2(\mathrm{mod}3)\end{array}$$
Vì vậy ta suy ra được $m\ne 0$ và $m\ne 1$.
(2) Giả sử $r$ là một nghiệm nguyên của $P(x)$ thì $r<0$, khi đó $r\mid a_0$, mà $a_0\in \{2,3\}$. Do đó
$$r\in \{-1,-2,-3\}.$$
Ta sẽ chứng minh $r\notin \{-2,-3\}$. Nếu $r=-2$ thì
$$0=P(-2)=a_{2026}{4}^{1013}+\sum _{j=0}^{1012}(a_{2j}-2a_{2j+1})4^j.$$
Suy ra $a_{2026}{4}^{1013}={\sum }_{j=0}^{1012}(2a_{2j+1}-a_{2j})4^j$. Vì $a_i\in \{2,3\}$ nên $2a_{2j+1}-a_{2j}\le 4$. Do đó
$$a_{2026}{4}^{1013}\le 4\sum _{j=0}^{1012}{4}^j=\frac{4(4^{1013}-1)}{3}<2\cdot 4^{1013}$$
mâu thuẫn với $a_{2026}\ge 2$. Tương tự, nếu $r=-3$ thì
$$a_{2026}{9}^{1013}=\sum _{j=0}^{1012}(3a_{2j+1}-a_{2j})9^j\le 7\sum _{j=0}^{1012}{9}^j=\frac{7(9^{1013}-1)}{8}<2\cdot 9^{1013}$$
vì $3a_{2j+1}-a_{2j}\le 7$, điều này mâu thuẫn với $a_{2026}\ge 2$.
Vậy nghiệm nguyên duy nhất có thể có là $r=-1$, từ đây dễ ý $P(-1)\equiv m(\mathrm{mod}2)$ nên $m$ chẵn.