Câu 1 (5.0 điểm). Cho đa thức $P(x)=x^{2027}-x^{2026}+x$ và số thực $a_1\in (0,1)$. Xét dãy số $(a_n)$ xác định bởi $P(a_{n+1})=a_n$ với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Chứng minh rằng dãy số $(a_n)$ xác định duy nhất và ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=1$.

Lời giải. Xét hàm số $f(x)=x^{2027}-x^{2026}+x-a$ (với $a\in (0,1)$) trên $[0,1]$. Ta có $f^{\prime }(x)=2027x^{2026}-2026x^{2025}+1$. Với $x\in (0,1)$, ta được $f^{\prime }(x)>2025x^{2026}+1-2026x^{2025}\ge 0$ (theo AM–GM). Suy ra $f$ đồng biến trên $(0,1)$. Mặt khác, ta lại có $f(0)\cdot f(1)=a(a-1)<0$ (vì $a\in (0,1)$). Kết hợp với $f$ liên tục trên $[0,1]$, ta được phương trình $f(x)=0$ có duy nhất một nghiệm thuộc $(0,1)$.

Bằng quy nạp, ta chứng minh dãy $(a_n)$ xác định duy nhất và $a_n\in (0,1)\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

Với $n=1$, ta có $a_1\in (0,1)$.

Giả sử mệnh đề đúng với $n$, tức là $a_n$ xác định duy nhất và $a_n\in (0,1)$.

Xét phương trình $P(x)=a_n⟺x^{2027}-x^{2026}+x-a_n=0$. Theo chứng minh trên (với $a=a_n\in (0,1)$), phương trình có duy nhất một nghiệm thuộc $(0,1)$. Gọi nghiệm đó là $a_{n+1}$. Vậy $a_{n+1}$ xác định duy nhất và $a_{n+1}\in (0,1)$.

Với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, ta có: $a_{n+1}=a_n+a_{n+1}^{2026}(1-a_{n+1})$. Vì $a_{n+1}\in (0,1)$ nên suy ra $a_{n+1}>a_n$, hay $(a_n)$ là dãy tăng. Đồng thời $(a_n)$ bị chặn trên bởi 1 nên $(a_n)$ hội tụ. Đặt $L=\lim a_n$ $(0<L\le 1)$. Trong đẳng thức $P(a_{n+1})=a_n$ cho $n\to +\infty$, ta được: $L^{2027}-L^{2026}+L=L⟺L=1$ (vì $0<L\le 1$).

Vậy $\lim a_n=1$. $\square$