Tìm tất cả các số nguyên dương $n\ge 2$ sao cho tồn tại vô số bộ $n$ số nguyên dương liên tiếp có tổng là số chính phương và không là lũy thừa của 2.

Đáp số. Tất cả các số $n$ thỏa mãn là các số sao cho ${\nu }_2(n)$ không là số nguyên dương chẵn. Với $a\ge 0$, đặt

$$S(a,n)=(a+1)+(a+2)+\dots +(a+n)=na+\frac{n(n+1)}{2}$$

là tổng của $n$ số nguyên dương liên tiếp.

Chứng minh $n=2^a\cdot b$ ($a>0$ chẵn, $b$ lẻ) không thỏa mãn. Ta có

$$S(x,n)=nx+\frac{n(n+1)}{2}=2^{a}bx+2^{a-1}b(2^{a}b+1).$$

Dễ thấy số này chia hết cho $2^{a-1}$ nhưng không chia hết cho $2^a$. Do đó ${\nu }_2(S(x,n))=a-1$ là số lẻ nên $S(a,n)$ không thể là số chính phương.

Chứng minh $n$ lẻ thỏa mãn. Xét $a=k^{2}n-\frac{n+1}{2}$ với $k\ge 1$. Khi đó

$$S(a,n)=na+\frac{n(n+1)}{2}=n\left(a+\frac{n+1}{2}\right)=(kn{)}^2$$

là số chính phương, cũng không phải là lũy thừa của 2.

Chứng minh $n=2^a\cdot b$ ($a,b$ lẻ) thỏa mãn. Xét $x=\frac{k^{2}b-2^{a}b-1}{2}$ với $k$ là số nguyên dương lẻ đủ lớn và có một ước nguyên tố lẻ. Khi đó

$$S(x,n)=nx+\frac{n(n+1)}{2}=2^{a}bx+2^{a-1}b(2^{a}b+1)=2^{a-1}b\left(2x+2^{a}b+1\right)=2^{a-1}{k}^2{b}^2$$

là số chính phương, cũng không là lũy thừa của 2.