Đề Thi TST Đồng Tháp 2026 THPT Chuyên Tiền Giang

Cho hàm số $f:[0;1]\to [-2026;2026]$ thỏa mãn $$f(x)=-\sqrt{1-x}\cdot f\left(\sqrt{(1-x{)}^3}\right),\forall x\in [0;1].$$

a) Xét dãy số $(u_n)$ xác định bởi công thức $u_0=a\in (0;1)$ và $u_{n+1}=\sqrt{(1-u_n{)}^3}$. Chứng minh rằng, $u_n\in (0;1)$ và $$f(a)=(-1{)}^n\cdot \sqrt[3]{u_1{u}_2\dots u_n}\cdot f(u_n)$$ với mọi số nguyên dương $n$.

b) Chứng minh rằng, $f(x)=0$ với mọi $x\in [0;1]$.

Cho tam giác $ABC$ $(AC<BC)$ có đường phân giác $AD$ $(D\in BC)$. Gọi $K$ là trung điểm của $AB$, trên tia đối của tia $CB$ lấy điểm $E$ sao cho $\widehat{ACK}=\widehat{AEC}$. Giả sử $CD=CE$.

a) Chứng minh rằng $DA=DB$.

b) Gọi $J$ là điểm thuộc đoạn thẳng $BC$ sao cho $CA=CJ$. Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$. Gọi $L$ là giao điểm của $DK$ và $AJ$, $M$ là giao điểm của $CL$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $BIC$, $G$ là giao điểm của $IM$ và $AB$. Chứng minh rằng các điểm $B,L,D,M,G$ cùng thuộc một đường tròn.

Tìm tất cả các số nguyên dương $n\ge 2$ sao cho tồn tại vô số bộ $n$ số nguyên dương liên tiếp có tổng là số chính phương và không là lũy thừa của 2.

Có 7 điểm phân biệt được đánh dấu từ 0 đến 6. Một con châu chấu xuất phát từ điểm khác 0 và thực hiện $n-1$ lần nhảy đến $n$ vị trí. Châu chấu có thể nhảy đến ô khác hoặc nhảy lên rồi đáp xuống vị trí mà châu chấu đang đứng, tuy nhiên châu chấu không thể nhảy từ vị trí 2 đến vị trí 0 hoặc từ vị trí 2 đến vị trí 6. Một hành trình được định nghĩa là vị trí của châu chấu qua các bước nhảy. Gọi $u_n$ là số hành trình khác nhau của châu chấu sau $n$ bước nhảy.

a) Tìm công thức truy hồi của dãy $(u_n)$.

b) Chứng minh rằng $u_{2026}\cdot u_{2028}$ là tổng của 2 số chính phương.

Cho $n\ge 2$ là số nguyên dương. Xét các đa thức $f(x),g(x),h(x)$ hệ số thực có bậc không vượt quá $n$. Một số thực $x_0$ được gọi là tốt nếu các giá trị $f(x_0),g(x_0),h(x_0)$ tạo thành một cấp số cộng theo một thứ tự bất kì nào đó. Giả sử rằng chỉ có hữu hạn số tốt như vậy.

a) Chứng minh rằng số lượng số tốt không vượt quá $3n$.

b) Hãy xây dựng bộ ba đa thức $f(x),g(x),h(x)$ thoả mãn có $3n$ số tốt.

Cho tam giác $ABC$ có đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc với các cạnh $BC,CA,AB$ tại $D,E,F$. $BI,CI,DI$ lần lượt cắt đường thẳng $EF$ tại $M,N,K$. Các điểm $P,Q$ nằm trên $BM,CN$ sao cho $CP$ và $BQ$ cùng song song với $AI$.

a) Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp của các tam giác $IBC,IMN,IPQ$ có một điểm chung khác $I$.

b) Gọi $S$ là giao điểm của $EF$ và $BC$, $T$ là giao điểm của hai tiếp tuyến tại $E$ và $F$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$. Chứng minh rằng đường thẳng qua $S$ vuông góc với $TK$ đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $DMN$.

Trên bảng có viết dãy các số $0,1,2,\dots ,n$ với $n$ là một số nguyên dương lẻ. An và Bình cùng chơi một trò chơi bằng cách thay phiên nhau xoá các số có trên bảng. An là người đi trước. Gọi $A$ và $B$ lần lượt là tổng của các số mà An và Bình đã xoá.

a) Giả sử $n=7$. Hỏi An có bao nhiêu cách xoá để $\gcd (A,B)=1$?

b) Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số nguyên dương $n$ lẻ sao cho An luôn có thể chọn các số để xoá thỏa mãn $\gcd (A,B)$ chẵn bất kể cách xoá số của Bình.

c) Với $n=81$, An thực hiện thao tác xoá các số sao cho giá trị của $\gcd (A,B)$ lớn nhất còn Bình thực hiện thao tác xoá sao cho giá trị của $\gcd (A,B)$ nhỏ nhất. Hỏi giá trị cuối cùng của $\gcd (A,B)$ là bao nhiêu nếu An và Bình đều thực hiện các thao tác xoá tối ưu?