Xét tích phân ${\int }_0^{1}x\sqrt{3x^2+1}dx$, nếu đặt $u=3x^2+1$ thì tích phân đã cho bằng

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm $f^{\prime }(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, $f(1)=1$ và ${\int }_1^2{f}^{\prime }(x)dx=3$. Khi đó giá trị của $f(2)$ bằng

Bác Bình muốn nhờ thợ trang trí một bức tường hình chữ nhật $ADEF$ với kích thước $EF=6\text{ m},DE=3\text{ m}$ sao cho cân xứng hai nửa. Phần gạch chéo là hình giới hạn bởi đường gấp khúc $AFED$ và nửa đường tròn đường kính $AD$, được thuê sơn với đơn giá $250000$ đồng mỗi mét vuông. Phần màu trắng giới hạn bởi nửa đường tròn đường kính $AD$ và một đường parabol (có đỉnh $H$ cách đường thẳng $AB$ một khoảng bằng $2\text{ m}$ và đi qua hai điểm $B,C$ nằm trên cạnh $AD$ thỏa mãn $AB=CD=1,5\text{ m}$) được thuê trang trí bằng bức phù điêu đắp bằng xi măng với đơn giá $1950000$ đồng mỗi mét vuông (tham khảo hình vẽ). Hỏi bác Bình phải trả bao nhiêu triệu đồng để trang trí bức tường như vậy (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ có một nguyên hàm là $F(x)$ thỏa mãn $F(1)=3,F(2)=9$. Phát biểu nào sau đây là đúng?

Nếu  f ( x )dx = -2 và  f ( x )dx = 6 thì  f ( x )dx bằng
1 5 1

Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn  -1;5 . Diện tích hình phẳng giưới hạn bởi đồ thị hàm
số y = f ( x ) , trục hoành và hai đường thảng x = -1, x = 5 là

5 5 5 -1

Nếu  f ( x ) dx = 4,  g ( x ) dx = -3 thì  [ f ( x ) - 2g ( x ) +2x ] dx bằng
0 0 0