Xét các số thực $\alpha$ và $\beta$ thỏa mãn: $2^{\alpha }(2^{\alpha }+2^{\beta })=16(2^{-\alpha }+2^{-\beta })$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Cho $0<a\ne 1,b>0,c>0$ và ${\log }_{a}b=-2,{\log }_{a}c=5$. Giá trị của ${\log }_a\left(\frac{a\sqrt{b}}{\sqrt[3]{c}}\right)$ là

Nghiệm của phương trình ${\log }_{3}x=2$ là

Cho ${\log }_{a}b=5$. Giá trị của biểu thức ${\log }_a\left(a^{2}b\right)$ bằng:

Câu 10. Cho các số thực $a,b,c$ thuộc khoảng $(1;+\infty )$ và ${\log }_{\sqrt{a}}^{2}b+{\log }_{b}c\cdot {\log }_b\left(\frac{c^2}{b}\right)+9{\log }_{a}c=4{\log }_{a}b$. Tính giá trị của biểu thức ${\log }_{a}b+{\log }_b{c}^2$.

Câu 1. Với các số thực dương $x,y,z$ thay đổi sao cho ${\log }_2\left(\frac{x+2y+2z}{x^2+y^2+z^2}\right)=x(x-4)+y(y-8)+z(z-8)-2$. Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T=\frac{x^2+y^2+z^2-4x-7y-11z+8}{6x+5y-86}$ theo thứ tự là $M$ và $m$. Tính $M+m$.

Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2 - 2 z + 5 = 0 . Khi đó giá trị của z1 + z2 bằng