Từ một hình vuông có độ dài cạnh bằng 1, người ta nối các trung điểm của cạnh hình vuông để tạo ra hình vuông mới như hình bên. Tiếp tục quá trình này đến vô hạn. Tổng diện tích của tất cả các hình vuông được tạo thành bằng:

Cho tam giác đều $\Delta A_1{B}_1{C}_1$. Với mỗi $n\ge 1$, từ tam giác đều $\Delta A_n{B}_n{C}_n$ ta dựng tam giác tiếp theo như sau:

- Trên cạnh $A_n{B}_n$ lấy điểm $A_{n+1}$ sao cho $A_n{A}_{n+1}=\frac{1}{3}{A}_n{B}_n$

- Trên cạnh $B_n{C}_n$ lấy $B_{n+1}$ sao cho $B_n{B}_{n+1}=\frac{1}{3}{B}_n{C}_n$

- Trên cạnh $C_n{A}_n$ lấy $C_{n+1}$ sao cho $C_n{C}_{n+1}=\frac{1}{3}{C}_n{A}_n$

Ba điểm $A_{n+1},B_{n+1},C_{n+1}$ là ba đỉnh của tam giác đều tiếp theo. Gọi diện tích của các tam giác đó lần lượt là $S_1,S_2,\dots ,S_n,\dots$. Biết $\Delta A_1{B}_1{C}_1$ có diện tích bằng $9\sqrt{3}$.



Tổng $S_1+S_2+\dots +S_n+\dots =\frac{a\sqrt{b}}{c}$ với $\frac{a}{c}$ là phân số tối giản, $a,b,c\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Tính $a+b+c$.

Cho tam giác đều $\Delta A_1{B}_1{C}_1$. Với mỗi $n\ge 1$, từ tam giác đều $\Delta A_n{B}_n{C}_n$ ta dựng tam giác tiếp theo như sau:

- Trên cạnh $A_n{B}_n$ lấy điểm $A_{n+1}$ sao cho $A_n{A}_{n+1}=\frac{1}{3}{A}_n{B}_n$

- Trên cạnh $B_n{C}_n$ lấy $B_{n+1}$ sao cho $B_n{B}_{n+1}=\frac{1}{3}{B}_n{C}_n$

- Trên cạnh $C_n{A}_n$ lấy $C_{n+1}$ sao cho $C_n{C}_{n+1}=\frac{1}{3}{C}_n{A}_n$

Ba điểm $A_{n+1},B_{n+1},C_{n+1}$ là ba đỉnh của tam giác đều tiếp theo.

Gọi diện tích của các tam giác đó lần lượt là $S_1,S_2,\dots ,S_n,\dots$. Biết $\Delta A_1{B}_1{C}_1$ có diện tích bằng $9\sqrt{3}$. Tổng $S_1+S_2+\dots +S_n+\dots =\frac{a\sqrt{b}}{c}$ với $\frac{a}{c}$ là phân số tối giản, $a,b,c\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Tính $a+b+c$.

(0,5 điểm) Một hòn đảo nhân tạo được thiết kế theo hình dạng bông tuyết Koch. Bắt đầu từ một tam giác đều cạnh a = 100 mét. Với quy luật: mỗi cạnh của bước trước được chia làm 3, bỏ đoạn giữa và thay bằng 2 đoạn bằng nó ghép thành một tam giác đều (hướng ra ngoài). Cho biết chi phí để lắp đất và trồng cỏ phủ kín hòn đảo có chi phí là 5 triệu đồng /m². Nếu quá trình xây dựng cứ tiếp diễn mãi mãi, hãy tính tổng chi phí lắp đất và trồng cỏ.

(0,5 điểm) Một hòn đảo nhân tạo được thiết kế theo hình dạng bông tuyết Koch. Bắt đầu từ một tam giác đều cạnh a = 100 mét. Với quy luật: mỗi cạnh của bước trước được chia làm 3, bỏ đoạn giữa và thay bằng 2 đoạn bằng nó ghép thành một tam giác đều (hướng ra ngoài). Cho biết chi phí để lắp đất và trồng cỏ phủ kín hòn đảo có chi phí là 5 triệu đồng / m². Nếu quá trình xây dựng cứ tiếp diễn mãi mãi, hãy tính tổng chi phí lắp đất và trồng cỏ.

Hai bạn An và Bình tham gia một trò chơi tung một con xúc xắc cân đối, đồng chất 6 mặt. Bạn An tung trước. Nếu An tung được mặt 6 chấm thì An thắng ngay lập tức. Nếu không, đến lượt Bình tung. Nếu Bình tung được mặt có số chấm là số nguyên tố thì Bình thắng ngay lập tức. Nếu Bình vẫn chưa thắng, lượt chơi quay lại cho An với quy tắc cũ, và cứ thế tiếp diễn cho đến khi có người thắng. Tính xác suất để An là người thắng chung cuộc (làm tròn đến hàng phần trăm).

Hai bạn An và Bình tham gia một trò chơi tung một con xúc xắc cân đối, đồng chất 6 mặt. Bạn Bình tung trước. Nếu Bình tung được mặt có số chấm là số lẻ thì Bình thắng ngay lập tức. Nếu không, đến lượt An tung. Nếu An tung được mặt 6 chấm thì An thắng ngay lập tức. Nếu An vẫn chưa thắng, lượt chơi quay lại cho Bình với quy tắc cũ, và cứ thế tiếp diễn cho đến khi có người thắng. Tính xác suất để Bình là người thắng chung cuộc (làm tròn đến hàng phần trăm).