Từ mặt nước trong một bể nước, tại ba vị trí đối một cách nhau 2 m, người ta lần lượt thả dây dọi để quả dọi chạm đáy bể. Phần dây dọi (thẳng) nằm trong nước tại ba vị trí đó lần lượt có độ dài là 4 m; 4,4 m; 4,8 m. Biết đáy bể là phẳng. Hỏi đáy bể so với mặt phẳng nằm ngang một góc bao nhiêu độ? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

1. Tại buổi triển lãm, một viên đá quý được trưng bày trên giá đỡ có dạng hình chóp $S.ABC$, đáy là tam giác $ABC$ cân tại $B$ nằm trên mặt bàn và $SA$ vuông góc với mặt bàn. Viên đá quý có hình dạng một khối tứ diện đều có hai cạnh đối lần lượt nằm trên hai đường thẳng chứa cạnh $SC$ và đường cao $AH$ của tam giác $SAB$ như hình vẽ. Biết $AB=5cm$, góc giữa hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBC)$ bằng $60^{\circ }$.

a) Chứng minh rằng tam giác $ABC$ vuông cân.
b) Tính thể tích của viên đá quý.

2. Một tàu vũ trụ đang ở cách mặt phẳng ranh giới giữa hai nửa không gian một khoảng bằng $a$. Phi hành đoàn biết điều đó nhưng không chắc chắn phải đi theo hướng nào để chạm đến ranh giới. Tàu vũ trụ có thể di chuyển trong không gian theo bất kỳ đường đi nào, đồng thời ghi lại độ dài quãng đường đã di chuyển và tàu có thiết bị cảm biến báo hiệu khi đã đến ranh giới. Liệu phi hành đoàn có thể chắc chắn đến được mặt phẳng ranh giới hay không, với điều kiện quãng đường di chuyển không quá $14a$?

Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy $ABCD$ là hình vuông có cạnh bằng 4 cm. $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $O$. $\Delta SBD$ vuông cân tại $S$. Lấy điểm $I$ nằm trên $SO$ sao cho $SI=2IO$. Đường thẳng $IB$ cắt mặt phẳng $(SAD)$ tại điểm $M$. Độ dài của $MD$ là bao nhiêu?

Khi khắc phục hậu quả của thiên tai, bão lũ, một trong những giải pháp nhằm tiếp tế hàng cứu trợ đến những nơi khó tiếp cận là sử dụng flycam để xác định vị trí chính xác của người cần cứu trợ, sau đó sử dụng drone để vận chuyển các vật dụng thiết yếu thả xuống cho người này, giúp họ có thể cầm cự trong khi chờ đợi lực lượng cứu hộ đến nơi. Hai chiếc drone làm nhiệm vụ chuyển hàng cứu trợ bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất bay đến điểm cách điểm xuất phát 2,5 km về phía nam và 1,5 km về phía đông, đồng thời cách mặt đất 60 m. Chiếc thứ hai bay đến điểm cách điểm xuất phát 3 km về phía bắc và 2,5 km về phía tây, đồng thời cách mặt đất 40 m. Trong không gian, xét hệ tọa độ $Oxyz$ với gốc tọa độ $O$ đặt tại điểm xuất phát của hai drone, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất (được coi là mặt phẳng). Giả sử trong trường hợp khẩn cấp, cần tìm một vị trí trên mặt đất để tiếp nhiên liệu và các vật dụng cứu trợ cho hai drone sao cho tổng khoảng cách từ vị trí tiếp nhiên liệu đó tới hai drone nhỏ nhất. Vị trí cần tìm cách gốc tọa độ $a$ km theo hướng bắc và $b$ km theo hướng tây. Khi đó $a+b$ bằng bao nhiêu?

Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(4;0;0)$, $B(-4;0;0)$ và $C(0;6;1)$. Gọi $M$ là một điểm nằm trên mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $MA+MB=10$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $MC$? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật, $AB=8$ và $BC=4\sqrt{3}$. Gọi $M$ là trung điểm của $DC$. Biết $SM=SA=SB=\frac{8\sqrt{6}}{3}$.

Bên trong một căn nhà bỏ hoang hình lập phương cạnh $5m$ có 3 chú nhện sinh sống. Mùa đông đến, vì đói rét nên chúng đành quyết định hợp tác với nhau giăng lưới để bắt mồi. Ba chú nhện tính toán sẽ giăng một mảnh lưới hình tam giác theo cách sau: Mỗi chú nhện sẽ đứng ở mép tường bất kì (có thể mép giữa 2 bức tường, giữa tường với trần, hoặc giữa tường với nền) rồi phóng những sợi tơ làm khung đến vị trí của 2 con nhện còn lại rồi sau đó mới phóng tơ đính dán phần lưới bên trong. Chúng quy định không có bất kì 2 con nhện nào cùng nằm trên một mặt tường, nền hoặc trần nhà. Chu vi nhỏ nhất của mảnh lưới được giăng (biết các sợi tơ khung căng và không nhùn) là $\frac{m}{p}\sqrt{n}$ với $m;n;p\in {\mathbb{N}}^{\ast }$; $\frac{m}{p}$ là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức $m+n+p$.