Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, tọa độ điểm đối xứng với điểm $M(-2;7)$ qua đường thẳng $d:3x-5y-27=0$ là điểm $M^{\prime }(a;b)$. Khi đó $a+b$ bằng.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $M^{\prime }=(x;y)$ là điểm đối xứng của $M(-2;7)$ qua $d:3x-5y-27=0$. Ta có $\overrightarrow{M{M}^{\prime }}=(x+2;y-7)$ vuông góc với $d$ nên $\frac{x+2}{3}=\frac{y-7}{-5}=t$, và trung điểm $I\left(\frac{x-2}{2};\frac{y+7}{2}\right)$ thuộc $d$. Thay vào: $3\cdot \frac{x-2}{2}-5\cdot \frac{y+7}{2}-27=0\Rightarrow 3x-5y=73$. Với $x=-2+3t,y=7-5t$: $3(-2+3t)-5(7-5t)=73\Rightarrow -6+9t-35+25t=73\Rightarrow 34t=114\Rightarrow t=\frac{57}{17}$. Suy ra $x=-2+\frac{171}{17}=\frac{137}{17}$... kiểm tra lại: cách khác, $d(M)=3(-2)-5(7)-27=-48$, $M^{\prime }=M-\frac{2d(M)}{3^2+(-5{)}^2}(3;-5)=(-2;7)+\frac{48}{17}(3;-5)=\left(-2+\frac{144}{17};7-\frac{240}{17}\right)=\left(\frac{110}{17};-\frac{121}{17}\right)$. Kiểm tra: trung điểm $\left(\frac{48}{17};-\frac{1}{34}\right)$... thực tế kiểm tra trung điểm $I=\left(\frac{-2+110/17}{2};\frac{7-121/17}{2}\right)=\left(\frac{38}{17};-\frac{1}{17}\right)$, thay vào $d$: $3\cdot \frac{38}{17}-5\cdot \left(-\frac{1}{17}\right)-27=\frac{114+5}{17}-27=7-27=-20\ne 0$. Tính lại: $7-\frac{240}{17}=\frac{119-240}{17}=-\frac{121}{17}$, đúng. Trung điểm: $x_I=\frac{-2+110/17}{2}=\frac{-34/17+110/17}{2}=\frac{76/17}{2}=\frac{38}{17}$; $y_I=\frac{7-121/17}{2}=\frac{119/17-121/17}{2}=-\frac{1}{17}$. Thay vào $d$: $3\cdot \frac{38}{17}-5\cdot \left(-\frac{1}{17}\right)-27=\frac{114+5-459}{17}=\frac{-340}{17}=-20\ne 0$ — sai. Lỗi ở đâu: $2d/(a^2+b^2)=2(-48)/34=-\frac{48}{17}$, nên $M^{\prime }=M-\left(-\frac{48}{17}\right)(3;-5)=M+\frac{48}{17}(3;-5)$ — đúng như trên. Kiểm tra $d(M^{\prime })=3\cdot \frac{110}{17}-5\cdot \left(-\frac{121}{17}\right)-27=\frac{330+605-459}{17}=\frac{476}{17}=28\ne -d(M)=-(-48)=48$? Thực ra phải có $d(M^{\prime })=-d(M)=48$. Ta được 28, sai. Tính lại $d(M)$: $3(-2)-5(7)-27=-6-35-27=-68$, không phải $-48$! Suy ra $M^{\prime }=M+\frac{68}{17}(3;-5)=M+4(3;-5)=(10;-13)$. Kiểm tra: $d(10;-13)=30+65-27=68=-d(M)$ đúng; $\overrightarrow{M{M}^{\prime }}=(12;-20)$ có tích vô hướng với $(3;-5)$: $36+100=136\ne 0$? $(12)(3)+(-20)(-5)=36+100=136$ — phải vuông góc với pháp tuyến $(3;-5)$: $12\cdot 3+(-20)\cdot (-5)=136\ne 0$, sai! $\overrightarrow{M{M}^{\prime }}$ phải song song với pháp tuyến $(3;-5)$: $(12;-20)=4(3;-5)$ đúng, và tích vô hướng với VTCP $(5;3)$: $60-60=0$ đúng. Vậy $M^{\prime }=(10;-13)$, $a+b=10-13=-3$.