Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $(C):x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ ngoại tiếp tam giác ABC, với $A(1;0),B(0;-2),C(2;-1)$. Khi đó giá trị của biểu thức $a+b+c$ bằng:

(AI giải đề cho tôi)
Thay tọa độ các điểm vào phương trình $(C):x^2+y^2-2ax-2by+c=0$.
- Qua $A(1;0)$: $1-2a+c=0\Rightarrow c=2a-1$.
- Qua $B(0;-2)$: $4+4b+c=0\Rightarrow c=-4b-4$.
- Qua $C(2;-1)$: $5-4a+2b+c=0$.
Thay $c=2a-1$ vào phương trình thứ ba: $5-4a+2b+2a-1=0\Rightarrow b=a-2$.
Kết hợp $c=-4b-4=-4a+4$ và $c=2a-1$: $2a-1=-4a+4\Rightarrow a=\frac{5}{6}$, suy ra $b=-\frac{7}{6}$, $c=\frac{2}{3}$.
Vậy $a+b+c=\frac{5}{6}-\frac{7}{6}+\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$. Đáp án D.