Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho $A(4;1;5),B(3;2;1),C(-3;4;2)$. Điểm $M(a;b;0)$ sao cho $S=\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA}$ nhỏ nhất. Giá trị $3a+b$ bằng:

Cho tứ diện đều $ABCD$ có $M$ là trung điểm $CD$. Cosin của góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{MA}$ và $\overrightarrow{BC}$ bằng

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $AB=3,AD=4,A{A}^{\prime }=5$. Khẳng định nào dưới đây đúng?

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho $\vec{u}(-2;3;1)$, $\vec{v}(1;1;-2)$. Giá trị $\left|\vec{u}-2\vec{v}\right|$ bằng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, đơn vị trên các trục là centimet, một chiếc máy quay phim có trọng lực $210N$ được đặt cân bằng tại đỉnh $S(0;0;120)$ của một chiếc giá đỡ ba chân, có dạng hình chóp đều $S.ABC$ (tham khảo hình vẽ). Biết tọa độ điểm $A(0;30;0)$.

Trong không gian $Oxyz$, cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh bằng $a$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $A^{\prime }{D}^{\prime }$ và $C^{\prime }{D}^{\prime }$.

Cho hình lập phương $ABFE.DCHG$ có cạnh bằng 2.



Tích vô hướng $\overrightarrow{GB}.\overrightarrow{GE}$ bằng