Trong không gian tọa độ $Oxyz$ cho tam giác $ABC$ đều với $A(-3;0;0)$, $B(0;y;0)$ và $C(0;0;z)$. Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$. Tính khoảng cách $OI$.

Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ có $A(-2;0;-3),B(-4;-4;1),C(-4;1;-1)$.

Trong không gian $Oxyz$, cho $M(a;b;1)$ thuộc mặt phẳng $(P):2x-y+z-3=0$. Tính giá trị biểu thức $S=20a-10b$.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ có $A(1;2;-3)$, $B(4;0;5)$, $C(2;0;1)$. Gọi $M$ là điểm bất kì sao cho biểu thức $P=2M{A}^2+3M{B}^2-M{C}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị nhỏ nhất đó bằng

Một chú chim bồ câu đang ở vị trí M được mô hình hóa trong không gian Oxyz như hình vẽ sau:

Gọi H là hình chiếu của điểm M xuống mặt phẳng (Oxy). Biết $OM=50\sqrt{2}$, $(\vec{i},\overrightarrow{OH})=60^{\circ }$ và $(\overrightarrow{OH},\overrightarrow{OM})=45^{\circ }$. Nếu $M(a;b;c)$ thì giá trị của $a+b\sqrt{3}+c$ bằng bao nhiêu ?

Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(3;-2;3)$, $B(-1;2;5)$, $C(1;0;1)$. Tìm tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$.

Trong không gian $Oxyz$, cho vectơ $\vec{u}=\left(\frac{1}{2};-1;1\right)$. Hãy biểu diễn vectơ $\vec{u}$ theo các vectơ $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$.