Trong không gian $Oxyz$, cho hình bình hành $ABCD$ với $A(1;-1;2)$, $B(3;3;3)$, $C(-1;-2;2)$. Tọa độ điểm $D$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho $\vec{u}=2\vec{i}+\vec{k}$. Tọa độ của vectơ $\vec{u}$ là

Trong không gian cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, gọi $I$ là tâm của hình vuông $ABCD$ và $G$ là trọng tâm của tam giác $A{B}^{\prime }C$.

(1 điểm) Trong một căn phòng, hai bức tường được xây vuông góc với nhau và cùng vuông góc với sàn nhà. Người ta căng một sợi dây đèn LED trang trí nối từ điểm $M$ trên bức tường thứ nhất đến điểm $N$ trên bức tường thứ hai. Biết điểm $M$ cách bức tường thứ hai một khoảng $2,5m$ và cách sàn nhà $1,5m$. Điểm $N$ cách bức tường thứ nhất một khoảng $1,2m$ và cách sàn nhà là $2,4m$. Thiết lập một hệ trục tọa độ $Oxyz$ (như hình vẽ)

a) Xác định tọa độ của hai điểm $M$ và $N$ trong hệ tọa độ đó.
b) Tính chiều dài của sợi dây đèn LED.

(1 điểm) Trong không gian $Oxyz$, cho 4 điểm $A(1;2;3),B(3;0;1),C(5;-1;2),D(3;7;4)$. Biết điểm $M$ di động trên mặt phẳng tọa độ $(Oxy)$ để biểu thức $P=\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}+2{\overrightarrow{MC}}^2+3{\overrightarrow{MD}}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm tọa độ $M$ và tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P$.

Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Tổng $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}+\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho $A(3;2;-1)$, $B(1;-2;2)$, $C(-2,1,3)$, khi đó tích vô hướng $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$ bằng