Trong hệ tọa độ $Oxy$, cho $\Delta ABC$ có $A(3;4),B(2;1),C(-1;-2)$. Tìm điểm $M$ có tung độ dương trên đường thẳng $BC$ sao cho $S_{ABC}=3S_{ABM}$.

Một cái hồ rộng có hình chữ nhật, tại một góc hồ người ta đóng một cái cọc ở vị trí $K$ cách bờ $AB$ là $2m$ và cách bờ $AD$ là $6m$, rồi dựng một cây sào thẳng $PQ$ ngăn một góc của hồ để nuôi vịt (như hình vẽ). Tính chiều dài ngắn nhất của cây sào để cây sào có thể chạm vào hai bờ $AB,AD$ và cây cọc $K$. (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục của mét).

Trong hệ tọa độ $Oxy$ cho $\Delta ABC$ có $A(3;4),B(2;1),C(-1;-2)$. Tìm điểm $M$ có tung độ dương trên đường thẳng $BC$ sao cho diện tích $\Delta ABC$ gấp 3 lần diện tích $\Delta ABM$.

Viết phương trình tham số của đường thẳng $(d)$ đi qua $M(-1;5)$ và có VTCP $\vec{u}=(4;-3)$.

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường thẳng $(d):x+2y-16=0$ và $A(4;1)$. Khi đó, xét tính đúng, sai của các khẳng định sau.

Tìm giá trị của $m$ để hai đường thẳng ${\Delta }_1:2x-3y-4=0$ và ${\Delta }_2:\{\begin{array}{l}x=2-3t\\ y=1-2mt\end{array}$ vuông góc.

Trong mặt phẳng với hệ trục $Oxy$, cho điểm $A(-1;2)$ và đường thẳng $d:x+2y+1=0$.

a) Viết phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ đi qua hai điểm $O$, $A$ với $O$ là gốc tọa độ.

b) Viết phương trình đường thẳng $d^{\prime }$ song song với $d$ và cắt hai trục tọa độ tại hai điểm $M$, $N$ sao cho diện tích tam giác $AMN$ bằng 1.