Trên bức tường của một trường mẫu giáo có vẽ hình phiếu bé ngoan như hình vẽ, cô giáo muốn mua dây kim tuyến bao quanh phần cánh hoa (phần nét liền), em hãy giúp cô tính xem cần mua bao nhiêu mét dây kim tuyến (làm tròn đến hàng phần trăm), biết rằng các cánh hoa là các cung tròn có bán kính bằng nhau và có tâm cách điểm O một khoảng 45cm, các giao điểm của các cung tròn cách O một khoảng 40 cm

(AI giải đề cho tôi)
Hoa có 5 cánh, mỗi cánh là cung tròn bán kính $r$, tâm cách $O$ một khoảng $45$ cm nên các tâm nằm trên đường tròn tâm $O$ bán kính $45$ cm; hai tâm liền kề thấy nhau dưới góc $\frac{360^{\circ }}{5}=72^{\circ }$ tại $O$.

Gọi $I$ là tâm một cánh hoa, $M$ là giao điểm của hai cung liền kề ($OM=40$ cm). Vì $O$ cách hai tâm liền kề bằng nhau nên $OM$ là phân giác của góc $72^{\circ }$, suy ra góc giữa $OM$ và $OI$ bằng $36^{\circ }$.

Trong tam giác $OIM$ ($OI=45$, $OM=40$, $\hat{O}=36^{\circ }$), theo định lý cosin:
$$r^2=40^2+45^2-2\cdot 40\cdot 45\cos 36^{\circ }=3625-2912,46=712,54\Rightarrow r\approx 26,693\text{ cm}.$$

Định lý sin: $\sin \hat{M}=\frac{45\sin 36^{\circ }}{26,693}\approx 0,9909\Rightarrow \hat{M}\approx 82,26^{\circ }$, suy ra $\hat{I}\approx 61,74^{\circ }$.

Hai giao điểm của một cánh hoa với hai cánh bên cạnh đối xứng qua $OI$ nên góc ở tâm $I$ giữa hai giao điểm là $2\cdot 61,74^{\circ }\approx 123,49^{\circ }$. Phần cánh hoa (nét liền) là cung lớn:
$$\theta =360^{\circ }-123,49^{\circ }=236,51^{\circ }\approx 4,1277\text{ rad}.$$

Độ dài một cánh hoa: $r\theta \approx 26,693\cdot 4,1277\approx 110,18$ cm. Tổng cho 5 cánh: $5\cdot 110,18\approx 550,9$ cm $\approx 5,51$ m.

Vậy cô cần mua khoảng $5,51$ m dây kim tuyến, trùng với đáp án $5,51$ trong bảng đáp án (mã đề 101, Câu 3).