Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình $\sin 2x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ trên đoạn $\left[0;2\pi \right]$ (kết quả cuối cùng làm tròn đến hàng phần trăm).

Giả sử một vật dao động điều hòa xung quanh một vị trí cân bằng theo phương trình $x=2\cos \left(3t-\frac{\pi }{6}\right),t\ge 0$. Ở đây, thời gian $t$ tính bằng giây và quãng đường $x$ tính bằng centimét. Hãy cho biết trong khoảng thời gian từ 0 đến 10 giây, vật đi qua vị trí cân bằng bao nhiêu lần?

Một chất điểm $M$ dao động điều hòa quanh vị trí cân bằng $O$ với phương trình $x(t)=5\cos \left(2\pi t+\frac{\pi }{3}\right)$ (cm). Trong đó $t$ là thời điểm (tính bằng giây), $x(t)$ là li độ của chất điểm $M$ tại thời điểm $t$. Hỏi trong $10s$ đầu tiên thì chất điểm $M$ đi qua vị trí cân bằng bao nhiêu lần?

Số nghiệm của phương trình $2\sin x+1=0$ trong đoạn $[0;2024\pi ]$ là

Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố $A$ ở vĩ độ $40^{\circ }$ Bắc trong ngày thứ $t$ của một năm (không nhuận) được cho bởi hàm số $d(t)=3\sin \left[\frac{\pi }{182}(t-80)\right]+12$ với $t\in \mathbb{Z}$ và $0<t\le 365$. Hỏi trong 1 năm có mấy ngày ở thành phố $A$ có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời?

Cho phương trình $20\sin 3x=m$. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình đã cho có đúng 151 nghiệm thuộc khoảng $\left(0;\frac{201\pi }{4}\right]$?

Hằng ngày, mực nước của một con sông lên xuống theo thủy triều. Độ sâu $h$ (đơn vị là mét) của mực nước con sông được đo tại vị trí một cây cầu bắc ngang qua sông này tính theo thời gian $t$ (giờ) trong một ngày $(0\le t<24)$ được cho bởi công thức $h(t)=5\cos \left(\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi }{4}\right)+16$. Gọi $t_o$ là thời gian sớm nhất trong ngày để độ sâu của mực nước sông tại vị trí đó là lớn nhất. Giá trị của $t_o$ bằng bao nhiêu?