Tính giá trị biểu thức $P=\cos 30^{\circ }\cos 60^{\circ }-\sin 30^{\circ }\sin 60^{\circ }$.

Giá trị lớn nhất của hàm số $y={\cos }^{2}x-3\cos 2x+1$ trên $\mathbb{R}$ bằng bao nhiêu?

Cho góc $\alpha$ có số đo tùy ý từ $0^{\circ }$ đến $180^{\circ }$.

Cho hai góc $\alpha$ và $\beta$ tùy ý, thỏa mãn: $0^{\circ }\le \alpha \le 180^{\circ }$; $0^{\circ }\le \beta \le 180^{\circ }$; $\alpha +\beta =180^{\circ }$. Đẳng thức nào sau đây đúng?

Biết $\cos x=-\frac{12}{13}$, $\pi <x<\frac{3\pi }{2}$. Tính các giá trị lượng giác $\sin \left(\frac{\pi }{3}-x\right)$; $\sin 2x$; $\cos 2x$

Một vận động viên bắn súng nằm trên mặt đất ở vị trí $A$ để ngắm các mục tiêu khác nhau trên một bức tường thẳng đứng. Vận động viên bắn trúng mục tiêu $B$ cách mặt đất $40m$ tại góc ngắm $\alpha$ (góc hợp bởi phương bắn với phương ngang). Nếu tăng góc ngắm đó lên 2 lần thì vận động viên bắn trúng mục tiêu $C$ cách mặt đất $90m$ (hình vẽ). Khi đó khoảng cách từ vận động viên đến bức tường bằng bao nhiêu mét?

Trong Hình 5, ba điểm $M,N,P$ nằm ở đầu các cánh quạt của tua-bin gió. Biết các cánh quạt dài $31m$, độ cao của điểm $M$ so với mặt đất là $30m$, góc giữa các cánh quạt là $\frac{2\pi }{3}$ và số đo góc $(OA,OM)$ là $\alpha$.



Tính chiều cao của điểm $P$ so với mặt đất (theo đơn vị mét). Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.