Tìm tất cả các số nguyên $n\ne 0$ để hàm số $y=f(x)=\cos (nx+2024\pi )\cos \left(\frac{10x-2025n\pi }{2n}\right)$ là hàm số tuần hoàn chu kỳ $3\pi$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cos (nx+2024\pi )=\cos (nx)$ và $\cos \left(\frac{10x-2025n\pi }{2n}\right)=\cos \left(\frac{5x}{n}-\frac{2025\pi }{2}\right)$. Vì $\frac{2025\pi }{2}=1012\pi +\frac{\pi }{2}$ nên $\cos \left(\frac{5x}{n}-\frac{\pi }{2}\right)=\sin \frac{5x}{n}$. Vậy $f(x)=\cos (nx)\sin \frac{5x}{n}$.

Yêu cầu $f(x+3\pi )=f(x)$ với mọi $x$:
$$\cos (n(x+3\pi ))=(-1{)}^n\cos (nx),\sin \left(\frac{5x}{n}+\frac{15\pi }{n}\right).$$

TH 1: $n$ lẻ. Khi đó cần $\sin \left(\frac{5x}{n}+\frac{15\pi }{n}\right)=-\sin \frac{5x}{n}$ với mọi $x$, tức $\frac{15\pi }{n}=\pi +2k\pi \Rightarrow n=\frac{15}{2k+1}$. Để $n$ là số nguyên lẻ: $2k+1\in \{\pm 1,\pm 3,\pm 5,\pm 15\}$, cho $n=\pm 1,\pm 3,\pm 5,\pm 15$ (đều lẻ, thỏa).

TH 2: $n$ chẵn. Khi đó cần $\frac{15\pi }{n}=2k\pi \Rightarrow n=\frac{15}{2k}$; với $2k\in \{\pm 1,\pm 3,\pm 5,\pm 15\}$ thì $n\in \{\pm 15,\pm 5,\pm 3,\pm 1\}$ đều lẻ, không có $n$ chẵn.

Kiểm tra: với $n=\pm 1,\pm 3,\pm 5,\pm 15$, cả hai nhân tử đều đổi dấu cùng lúc khi $x\to x+3\pi$ nên tích không đổi, tức $3\pi$ là chu kỳ. Vậy $n\in \{\pm 1,\pm 3,\pm 5,\pm 15\}$.