Tìm $m$ để các phương trình sau có nghiệm:
a) $9^x+3^x+m=0$

b) $9^x+m{3}^x-1=0$

c) $4^x-2^{x+1}=m$

d) $3^{2x}+2.3^x-(m+3).2^x=0$

e) $2^x+(m+1).2^{-x}+m=0$

f) $25^x-2.5^x-m-2=0$

g) $16^x-(m-1).2^{2x}+m-1=0$

h) $25^x+m.5^x+1-2m=0$

i) $81^{{\sin }^{2}x}+81^{{\cos }^{2}x}=m$

k) $3^{4-2x^2}-2.3^{2-x^2}+2m-3=0$

l) $4^{\sqrt{x+1}+\sqrt{3-x}}-14.2^{\sqrt{x+1}+\sqrt{3-x}}+8=m$

m) $9^{x+\sqrt{1-x^2}}-8.3^{x+\sqrt{1-x^2}}+4=m$

n) $9^{1+\sqrt{1-t^2}}-(m+2).3^{1+\sqrt{1-t^2}}+2m+1=0$

(AI giải đề cho tôi)
Đặt ẩn phụ là lũy thừa cơ số dương, đưa về phương trình bậc hai theo $t$ hoặc viết $m=f(t)$ rồi tìm miền giá trị của $f$ trên miền của $t$.

a) Đặt $t=3^x>0$, phương trình thành $t^2+t+m=0$, $\Delta =1-4m\ge 0$. Nghiệm $t=\frac{-1+\sqrt{1-4m}}{2}>0\iff \sqrt{1-4m}>1\iff m<0$ (với $m=0$ các nghiệm $t=0,-1$ loại). Vậy $m<0$.

b) Đặt $t=3^x>0$: $t^2+mt-1=0$. Tích hai nghiệm bằng $-1<0$ nên luôn có một nghiệm dương với mọi $m$. Vậy $m\in \mathbb{R}$.

c) Đặt $t=2^x>0$: $m=t^2-2t=(t-1{)}^2-1$, $t>0$. Miền giá trị là $[-1;+\infty )$. Vậy $m\ge -1$.

d) Chia hai vế cho $2^x>0$: ${\left(\frac{9}{2}\right)}^x+2{\left(\frac{3}{2}\right)}^x=m+3$. Vế trái liên tục, đồng biến, ${\lim }_{x\to -\infty }=0$, ${\lim }_{x\to +\infty }=+\infty$ nên miền giá trị $(0;+\infty )$. Vậy $m+3>0\iff m>-3$.

e) Nhân hai vế với $2^x>0$: $4^x+m.2^x+(m+1)=0$. Đặt $t=2^x>0$: $t^2+mt+(m+1)=0\iff (t+1)(t+m)=0$. Nghiệm $t=-1$ loại; cần $t=-m>0\iff m<0$.

f) Đặt $t=5^x>0$: $m=t^2-2t-2=(t-1{)}^2-3$, $t>0$, miền giá trị $[-3;+\infty )$. Vậy $m\ge -3$.

g) Đặt $t=4^x>0$ (khi đó $16^x=t^2$): $t^2-(m-1)t+(m-1)=0\iff (t-1)(t-(m-1))=0$. Luôn có nghiệm $t=1>0$ ($x=0$) với mọi $m$. Vậy $m\in \mathbb{R}$.

h) Đặt $t=5^x>0$: $t^2+mt+1-2m=0$. Xét theo tích nghiệm $P=1-2m$ và tổng $S=-m$:
- Nếu $m>\frac{1}{2}$: $P<0$ nên có một nghiệm dương; khi đó $\Delta =m^2+8m-4>0$ luôn đúng.
- Nếu $m<0$: $P>0$, $S>0$ nên cần cả hai nghiệm dương, tức $\Delta \ge 0\iff m\le -4-2\sqrt{5}$ (nhánh $m\ge -4+2\sqrt{5}$ loại vì $m<0$).
- Nếu $0\le m\le \frac{1}{2}$: $P\ge 0$, $S\le 0$ nên không có nghiệm dương (với $m=\frac{1}{2}$ nghiệm là $t=0,-\frac{1}{2}$).
Vậy $m\le -4-2\sqrt{5}$ hoặc $m>\frac{1}{2}$.

i) $81^{{\sin }^{2}x}+81^{{\cos }^{2}x}=u+\frac{81}{u}$ với $u=81^{{\sin }^{2}x}\in [1;81]$. Hàm $g(u)=u+\frac{81}{u}$, $g^{\prime }(u)=1-\frac{81}{u^2}$, đạt min $g(9)=18$, max tại mút $g(1)=g(81)=82$. Vậy $18\le m\le 82$.

k) Đặt $u=3^{2-x^2}$, do $2-x^2\le 2$ nên $0<u\le 9$; $3^{4-2x^2}=u^2$. Phương trình: $u^2-2u+2m-3=0\iff 2m=4-(u-1{)}^2$, $u\in (0;9]$. Max $g(1)=4$, min $g(9)=4-64=-60$. Vậy $-30\le m\le 2$.

l) Điều kiện $x\in [-1;3]$. Đặt $s=\sqrt{x+1}+\sqrt{3-x}$, $s^2=4+2\sqrt{-x^2+2x+3}$ với $-x^2+2x+3\in [0;4]$, nên $s\in [2;2\sqrt{2}]$. Đặt $t=2^s\in \left[4;2^{2\sqrt{2}}\right]$ ($2^{2\sqrt{2}}\approx 7,10$). Phương trình: $m=t^2-14t+8$, đỉnh $t=7$ thuộc khoảng, min $g(7)=-41$ (đạt được khi $s={\log }_{2}7\in [2;2\sqrt{2}]$); max tại $t=4$: $g(4)=-32$ (vì $g(2^{2\sqrt{2}})\approx -41,0<-32$). Vậy $-41\le m\le -32$.

m) Điều kiện $x\in [-1;1]$. Đặt $u=x+\sqrt{1-x^2}$; $h^{\prime }(x)=1-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}=0\iff x=\frac{1}{\sqrt{2}}$ cho max $h=\sqrt{2}$; $h(-1)=-1$, $h(1)=1$, vậy $u\in [-1;\sqrt{2}]$. Đặt $t=3^u\in \left[\frac{1}{3};3^{\sqrt{2}}\right]$ ($3^{\sqrt{2}}\approx 4,73$). Phương trình: $m=t^2-8t+4$, đỉnh $t=4$ thuộc khoảng, min $g(4)=-12$ (tại $u={\log }_{3}4$); max tại $t=\frac{1}{3}$: $g\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{9}-\frac{8}{3}+4=\frac{13}{9}$ (vì $g(3^{\sqrt{2}})\approx -11,4$). Vậy $-12\le m\le \frac{13}{9}$.

n) $\sqrt{1-t^2}\in [0;1]$ nên $s=3^{1+\sqrt{1-t^2}}\in [3;9]$. Phương trình: $s^2-(m+2)s+2m+1=0\iff m=\frac{s^2-2s-1}{2-s}=-s+\frac{1}{s-2}$, có $m^{\prime }(s)=-1-\frac{1}{(s-2{)}^2}<0$ nên nghịch biến trên $[3;9]$. Do đó $m\in \left[-9+\frac{1}{7};-3+1\right]=\left[-\frac{62}{7};-2\right]$.

Tất cả các kết quả trên đã được kiểm tra lại bằng cách thay giá trị biên (ví dụ h) tại $m=\frac{1}{2}$ phương trình có nghiệm $t=0,-\frac{1}{2}$ loại; i) tại $x=0$: $1+81=82$ đạt max; k) tại $x=0$: $81-18+2m-3=0\Rightarrow m=-30$; l) tại $x=-1$: $16-56+8=m=-32$; m) tại $x=-1$: $\frac{1}{9}-\frac{8}{3}+4=\frac{13}{9}$; n) tại $t=0$: $9-3(m+2)+2m+1=0\Rightarrow m=-2$).