Tam giác ABC có $\hat{B}=60^{\circ }$, $\hat{C}=45^{\circ }$ và $AB=5$. Tính độ dài cạnh $AC$.

Trong một cửa hàng, nhà quản lý dự định treo một đồ trang trí trên cao. Vật trang trí được đặt trên giá đỡ nằm dưới thanh treo 1m. Biết khoảng cách giữa hai thanh treo là 3m. Biết tổng độ dài nhỏ nhất của các đoạn dây xích là $a+b\sqrt{c}$ (trong đó $a,b,c$ là các số tự nhiên). Tính $a+b+c$.

Cho tam giác $ABC$ $(AC<BC)$ có đường phân giác $AD$ $(D\in BC)$. Gọi $K$ là trung điểm của $AB$, trên tia đối của tia $CB$ lấy điểm $E$ sao cho $\widehat{ACK}=\widehat{AEC}$. Giả sử $CD=CE$.

a) Chứng minh rằng $DA=DB$.

b) Gọi $J$ là điểm thuộc đoạn thẳng $BC$ sao cho $CA=CJ$. Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$. Gọi $L$ là giao điểm của $DK$ và $AJ$, $M$ là giao điểm của $CL$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $BIC$, $G$ là giao điểm của $IM$ và $AB$. Chứng minh rằng các điểm $B,L,D,M,G$ cùng thuộc một đường tròn.

Cho tam giác $ABC$ có $AB=8,AC=5$ và góc $BAC=120^{\circ }$. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $AB$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

Hai chiếc tàu thủy đậu trên biển tại hai vị trí lần lượt là $M,N$ cách nhau $500m$ và thẳng hàng với điểm $A$ là chân của một ngọn hải đăng $AB$. Từ $M$ và $N$ người ta nhìn đỉnh $B$ của tháp lần lượt dưới hai góc: $AMB=30^0$, $ANB=45^0$. Chiều cao $AB$ của tháp là bao nhiêu mét? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

(0,5 điểm) Để tránh vùng bị ảnh hưởng bởi lũ lụt, người dân muốn di chuyển từ xã $B$ tới xã $C$ phải đi qua xã $A$, dọc theo đường gấp khúc $BAC$. Biết $AB=16km,AC=12km$ và góc $BAC=60^{\circ }$. Lực lượng chức năng phát hiện trên đoạn thẳng $BC$, tại vị trí điểm $M$ thỏa mãn $MC=3MB$ có tín hiệu pháo sáng được bắn lên. Trực thăng được điều động để di chuyển thẳng từ $A$ tới $M$. Tính độ dài đoạn thẳng $AM$ (đơn vị km).

Gọi $a,b,c,r,R,S$ lần lượt là độ dài ba cạnh, bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp và diện tích của $\Delta ABC$. Khẳng định nào sau đây là đúng?