Sự lây lan của một loại virus ở một địa phương có thể được mô hình hóa bằng hàm số $N(t)=-t^3+12t^2$, $0\le t\le 12$, trong đó $N$ là số người nhiễm bệnh (tính bằng trăm người) và $t$ là thời gian (tính bằng tuần). Đạo hàm $N^{\prime }(t)$ biểu thị tốc độ lây lan của virus (còn gọi là tốc độ truyền bệnh). Hỏi virus sẽ lây lan nhanh nhất vào tuần thứ bao nhiêu?

Người ta cần thiết kế một thùng rác cỡ lớn có hình dạng hình chóp cụt tứ giác đều $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ như hình vẽ.

Quy định đưa ra là tổng diện tích của hai đáy bằng 30 m${}^2$ và đường chéo $A{C}^{\prime }=6\text{m}$. Thể tích lớn nhất của thùng rác là bao nhiêu mét khối? (Làm tròn đến hàng đơn vị).

Một công ty chuyển phát nhanh cần vận chuyển một lô hàng trên quãng đường dài 200 km bằng một xe tải. Xe chạy với vận tốc không đổi $v$ km/h. Mức tiêu thụ dầu của xe tải được mô hình hóa bởi công thức $C(v)=\frac{5}{v}+\frac{v}{512}$ (lit/km). Chi phí trả cho tài xế là 150 nghìn đồng/giờ. Giá dầu là 20 nghìn đồng/lit. Hỏi xe nên chạy với vận tốc bằng bao nhiêu để tổng chi phí cho chuyến đi (bao gồm tiền dầu và chi phí cho tài xế) là thấp nhất? (2,0 điểm)

Một doanh nghiệp cần xây dựng phương án phân bổ 100 thiết bị cứu hoá lắp đặt cho hai nhà máy A và B. Giả định rằng khi cả hai nhà máy cùng xảy ra hoả hoạn, tổng thiệt hại (tính bằng tiền, đơn vị tỉ đồng) sau khoảng thời gian $t$ giờ đám cháy xảy ra ở hai địa điểm lần lượt được mô hình hoá bởi công thức: ở nhà máy A là $D_A(t)=2t^3$, ở nhà máy B là $D_B(t)=3t^4$. Giả sử rằng thời gian để dập tắt đám cháy ở mỗi nhà máy tỉ lệ nghịch với số thiết bị cứu hoá được lắp đặt. Trong trường hợp lắp đặt mỗi nhà máy 50 thiết bị cứu hoá thì thời gian dập tắt là 2 giờ ở mỗi nhà máy. Hỏi tổng thiệt hại ở cả hai nhà máy nhỏ nhất là bao nhiêu tỉ đồng? (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm). (1,5 điểm)

An sử dụng 12 thanh sắt gắn thành một hình hộp chữ nhật với kích thước ba cạnh lần lượt là 20cm, 30cm, 60cm. Vào lúc ánh nắng mặt trời vuông góc với mặt sàn, An để hình hộp đó trong không trung. Các cạnh hình hộp được in bóng là các đoạn thẳng trên mặt sàn. Giả sử rằng các tia nắng song song với nhau và mặt sàn phẳng. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của tổng độ dài bóng tất cả các cạnh hình hộp chữ nhật. (1,5 điểm)

Công ty sữa cần làm làm các lon đựng sữa hình trụ có thể tích $800c{m}^3$ (lon sữa có nắp và bỏ qua việc gấp mí) . Để chi phí vật liệu ( thiết ) làm hộp sữa là nhỏ nhất , cần thiết kế hộp sữa có bán kính bao nhiêu $cm$? (chính xác đến hàng phần trăm)

Công ty sữa cần làm làm các hộp đựng sữa hình trụ có thể tích $1200c{m}^3$ (lon sữa có nắp và bỏ qua việc gấp mí) . Để chi phí vật liệu ( thiết ) làm hộp sữa là nhỏ nhất , cần thiết kế hộp sữa có bán kính bao nhiêu $cm$? (kết quả làm tròn chính xác đến hàng phần trăm).