Phương trình ${\log }_2(3x-2)=2$ có nghiệm là

Cho $a>1$, $b>0$ thỏa mãn ${\log }^{2}a+\log \left(\frac{b}{a^4}\right)+{\log }_{a}b-5=0$. Giá trị của $\log a+{\log }_{a}b$ bằng

Tìm các số thực $x>0$, $y>1$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện
$$e^{x^3+x}+{\log }_2\frac{8x}{y-1}=e^{y^3-3y^2+4y-2}+3\text{ vaˋ }2024^x+2026^{y-1}=2025x+2023y-2025.$$

Cesium-137 (Cs-137) là một đồng vị phóng xạ của nguyên tố cesium, được tạo ra chủ yếu từ phản ứng phân hạch hạt nhân trong các nhà máy điện hạt nhân và vũ khí hạt nhân. Đây là một sản phẩm phụ có khả năng di chuyển trong môi trường do tính tan trong nước của hợp chất và dễ phát tán khi gặp nhiệt độ cao. Cs-137 được sử dụng trong y học, công nghiệp và nghiên cứu khoa học, nhưng cũng tiềm ẩn nguy cơ phóng xạ cao đối với sinh vật và con người. Một khu vực bị ô nhiễm bởi đồng vị Cs-137 có chu kì bán rã là 30 năm. Sau một thời gian, người ta đo được hàm lượng Cs-137 trong đất chỉ còn 40\% so với ban đầu. Hỏi khu vực đó đã bị ô nhiễm cách đây khoảng bao nhiêu năm (làm tròn đến hàng đơn vị)? Biết lượng chất phóng xạ còn lại sau thời gian $t$ năm được tính bởi công thức $N=N_0{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{T}}$, $N_0$ là lượng chất phóng xạ ban đầu, $T$ là chu kì bán rã.

Cho $a$, $b$, $x$ là các số thực dương khác 1. Biết ${\log }_{a}x=2$ và ${\log }_{b}x=8$.

Số lượng cá thể vi khuẩn của một mẻ nuôi cấy được cho bởi công thức $P(t)=50\cdot 10^{kt}$, trong đó $t$ là thời gian tính bằng giờ kể từ thời điểm bắt đầu nuôi cấy, $k$ là hằng số. Giả sử, sau 1 giờ thì mẻ có 100 cá thể vi khuẩn.

(0,5 điểm) Đối với ngành nuôi trồng thủy sản, việc kiểm soát lượng thuốc tồn dư trong nước là một nhiệm vụ quan trọng nhằm đáp ứng các tiêu chuẩn an toàn về môi trường. Khi nghiên cứu một loại thuốc trị bệnh trong nuôi trồng thủy sản, người ta sử dụng thuốc đó một lần và theo dõi nồng độ thuốc tồn dư trong nước kể từ lúc sử dụng thuốc. Kết quả cho thấy nồng độ thuốc $f(x)$ (đơn vị: mg/lít) tồn dư trong nước tại thời điểm $x$ ngày ($x\ge 0$) kể từ lúc sử dụng thuốc, thỏa mãn $f(x)=e^{mx+n}$ ($x\ge 0$) trong đó $m$, $n$ là hằng số khác không. Do nồng độ thuốc tồn dư trong nước tại các thời điểm $x=6$ (ngày); $x=12$ (ngày) nhận được kết quả lần lượt là 2 mg/lít; 1 mg/lít. Sau ít nhất $x_0$ (ngày) (với $x_0$ nguyên dương) kể từ lúc sử dụng thuốc, nồng độ thuốc tồn dư trong nước sẽ nhỏ hơn 0,25 mg/lít. Giá trị của $6m+20x_0+\ln 2$ bằng bao nhiêu?