Nhà ba bạn Minh, Nam, Quý theo thứ tự ở ba vị trí $M,N,Q$. Có ba con đường thẳng nối nhà các bạn với độ dài các đoạn đường là $QM=3km,QN=6km$ và $QM\perp QN$ (tham khảo hình vẽ). Vào $9h00^{\prime }$ sáng Chủ nhật, bạn Quý đi bộ đến nhà bạn Minh với tốc độ $4km/h$, cùng lúc đó bạn Minh đi xe đạp đến nhà bạn Nam với tốc độ $12km/h$. Hỏi sau bao nhiêu phút thì khoảng cách giữa hai bạn Minh và Quý là ngắn nhất. (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười của phút).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục theo hình vẽ: $Q(0;0)$, $M(3;0)$, $N(0;6)$ (vì $QM\perp QN$, $QM=3$ km, $QN=6$ km).

Sau $t$ giờ (từ 9h00'), Quý đi bộ từ $Q$ đến $M$ với tốc độ $4$ km/h nên vị trí của Quý là $(4t;0)$.

Minh đi xe đạp từ $M$ đến $N$ với tốc độ $12$ km/h. Vectơ $\overrightarrow{MN}=(-3;6)$ có độ dài $3\sqrt{5}$ km, nên vị trí của Minh là
$$\left(3-\frac{36t}{3\sqrt{5}};\frac{72t}{3\sqrt{5}}\right)=\left(3-\frac{12t}{\sqrt{5}};\frac{24t}{\sqrt{5}}\right).$$

Bình phương khoảng cách giữa hai bạn:
$$f(t)={\left(3-\left(4+\frac{12}{\sqrt{5}}\right)t\right)}^2+{\left(\frac{24}{\sqrt{5}}t\right)}^2.$$
Đặt $a=4+\frac{12}{\sqrt{5}}$, $b=\frac{24}{\sqrt{5}}$. $f^{\prime }(t)=0\iff t=\frac{3a}{a^2+b^2}$.
Tính: $a^2+b^2=\frac{224}{5}+\frac{96}{\sqrt{5}}+\frac{576}{5}=160+\frac{96}{\sqrt{5}}$, $3a=12+\frac{36}{\sqrt{5}}$.
$$t=\frac{12+\frac{36}{\sqrt{5}}}{160+\frac{96}{\sqrt{5}}}=\frac{36+12\sqrt{5}}{160\sqrt{5}+96}\approx 0,13846\text{giờ}.$$

Đổi ra phút: $t\approx 0,13846\times 60\approx 8,3077$ phút. Thời điểm này hợp lệ vì $t<0,5$ giờ (Minh chưa đến nhà Nam, Quý chưa đến nhà Minh).

Vậy sau khoảng $8,3$ phút, khoảng cách giữa hai bạn Minh và Quý là ngắn nhất.