Một tổ công nhân có 5 nam và 6 nữ. Cần chọn ngẫu nhiên hai công nhân đi thực hiện một nhiệm vụ mới. Tính xác suất của biến cố “Cả hai công nhân được chọn cùng giới tính”.

Chọn ngẫu nhiên 3 số $a,b,c$ trong tập hợp $S=\{1;2;...;28\}$. Biết xác suất để 3 số chọn ra thỏa mãn $a^2+b^2+c^2$ chia hết cho 3 bằng $\frac{m}{n}$ với $m,n\in N^{\ast }$ và $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản. Tính giá trị biểu thức $T=m+n$.

Một bình đựng 8 viên bi xanh và 4 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi. Xác suất để có được ít nhất 2 viên bi xanh là bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Tung hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là 7.

Giải bóng đá tranh cup TNT của trường THPT Trần Nhân Tông dành cho các lớp khối 10 và 11 của trường có tất cả 12 đội tham dự, trong đó có 3 đội khách mời là các đội bóng ở các lớp khối 12. Ban tổ chức bốc thăm ngẫu nhiên để chia thành 3 bảng đấu A, B, C mỗi bảng đấu có 4 đội. Tính xác suất của biến cố “Ba đội khách mời nằm ở ba bảng đấu khác nhau” (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Một hộp chứa 15 tấm thẻ giống hệt nhau được đánh số từ 1 đến 15. Chọn ngẫu nhiên một tấm thẻ. Gọi $D$ là biến cố “Số ghi trên thẻ là số chia hết cho 3”. Khi đó:

Câu 3 (4,00 điểm).
1. Cho một đa giác đều 8 cạnh. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh trong 8 đỉnh của đa giác. Tìm xác suất để 3 đỉnh được chọn là 3 đỉnh của tam giác vuông.
2. Cho lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy là tam giác cân tại $C$, $AB=2a$, $A{A}^{\prime }=a$ và $B{C}^{\prime }$ tạo với mặt phẳng $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ một góc bằng $60^{\circ }$. Gọi $N$ là trung điểm của $A{A}^{\prime }$ và $M$ là trung điểm của $B{B}^{\prime }$. Tính theo $a$ thể tích khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ và khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $(B{C}^{\prime }N)$.