Một nhà máy sản xuất hai kiểu áo trắng và áo đen. Một chiếc áo trắng cần 1,5 giờ cắt áo và 1 giờ hoàn thiện áo. Một chiếc áo đen cần 1 giờ cắt áo và 2 giờ hoàn thiện áo. Tổ cắt áo có 3 công nhân và tổ hoàn thiện áo có 4 công nhân. Biết thị trường tiêu thụ hết sản phẩm của nhà máy và lượng tiêu thụ áo đen không vượt quá 3 lần áo trắng. Biết một công nhân làm việc không quá 8 tiếng một ngày và một áo trắng lãi 15000 đồng, một áo đen lãi 18000 đồng. Hỏi trong một ngày nhà máy cần sản xuất bao nhiêu áo trắng và bao nhiêu áo đen để tiền lãi thu được nhiều nhất?

Gọi $x,y$ (chiếc) là số áo trắng, áo đen do nhà máy sản xuất $(x,y\in \mathbb{N})$. Số giờ làm việc tối đa của tổ cắt áo trong một ngày của nhà máy là $8.3=24$ giờ. Số giờ làm việc tối đa của tổ hoàn thiện áo trong một ngày của nhà máy là $8.4=32$ giờ. Số giờ cắt áo trắng và đen trong một ngày là $1,5x+y$ (giờ). Số giờ hoàn thiện áo trắng và đen trong một ngày là $x+2y$ (giờ) (0,25 điểm).
Ta có hệ bất phương trình:
$$\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ 1,5x+y\le 24\\ x+2y\le 32\\ 3x-y\ge 0\end{array}$$ (0,25)
(0,25)
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác OABC với $O(0;0),A\left(\frac{32}{7};\frac{96}{7}\right),B(8;12),C(16;0)$.
Số tiền lãi thu được là $F(x;y)=15000x+18000y$ (đồng).
Số tiền lãi lớn nhất $F(8;12)=336000$ (đồng).
Vậy nhà máy cần sản xuất 8 áo trắng và 12 áo đen để tiền lãi thu được là nhiều nhất. (0,25)