Một người thợ mộc làm những cái bàn và những cái ghế. Mỗi cái bàn khi bán lãi 150 nghìn đồng, mỗi cái ghế khi bán lãi 50 nghìn đồng. Người thợ mộc có thể làm 40 giờ/tuần và tốn 6 giờ để làm một cái bàn, 3 giờ để làm một cái ghế. Khách hàng yêu cầu người thợ mộc làm số ghế ít nhất là gấp ba lần số bàn. Một cái bàn chiếm chỗ bằng 4 cái ghế và ta có phòng để được nhiều nhất 4 cái bàn/tuần. Để lãi thu về là lớn nhất, người thợ mộc phải sản xuất $a$ cái bàn, $b$ cái ghế trong $c$ tuần. Hỏi $a+b+c$ bằng bao nhiêu?

a) Nhân dịp tết Trung thu, xí nghiệp sản xuất bánh muốn sản xuất hai loại bánh: bánh nướng và bánh dẻo. Để sản xuất hai loại bánh này, xí nghiệp cần: đường, bột mì, trứng, mứt bí, lò xưởng. Xí nghiệp đã nhập về $600kg$ bột mì và $240kg$ đường, các nguyên liệu khác luôn đáp ứng được số lượng mà xí nghiệp cần. Mỗi chiếc bánh nướng cần $120g$ bột mì, $60g$ đường. Mỗi chiếc bánh dẻo cần $160g$ bột mì và $40g$ đường. Theo khảo sát thị trường, lượng bánh dẻo tiêu thụ không vượt quá ba lần lượng bánh nướng và sản phẩm của xí nghiệp sản xuất luôn được tiêu thụ hết. Mỗi chiếc bánh nướng lãi 8000 đồng, mỗi chiếc bánh dẻo lãi 6000 đồng. Để đáp ứng nhu cầu thị trường; đảm bảo lượng bột mì, đường không vượt quá số lượng mà xí nghiệp đã chuẩn bị và vẫn thu được lợi nhuận cao nhất thì xí nghiệp phải sản xuất bao nhiêu chiếc bánh nướng và bao nhiêu chiếc bánh dẻo.
b) Cho dãy số $u_n$ xác định bởi
$$\{\begin{array}{l}{u}_1=1;u_2=2\\ u_{n+1}=u_n\cdot u_{n-1}+2\end{array},n\ge 2,n\in N^{\ast }.$$
Đặt $S_n=u_1^2+1\cdot u_2^2+1\cdot u_3^2+1\dots u_n^2+1-1,n\in N^{\ast }$. Chứng minh với mọi $n\in N^{\ast }$, $S_n$ là số chính phương.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $f(x;y)=x-2y$ biết $x,y$ thỏa mãn $\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ 0\le y\le 5\\ x+y-2\ge 0\\ x-y\le 2\end{array}$.

Cho hệ bất phương trình $$\{\begin{array}{l}x\le 0\\ y\ge -1\\ 4x-3y\ge -12\\ x+y\le 1\end{array}(I)$$

a) Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình $(I)$ trên mặt phẳng hệ trục tọa độ $Oxy$.

b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $f(x;y)=4x-3y$ biết $(x;y)$ thỏa mãn $(I)$.

Một xưởng cơ khí có hai công nhân là Chiến và Bình. Xưởng sản xuất loại sản phẩm $I$ và $II$. Mỗi sản phẩm $I$ bán lãi 500 nghìn đồng, mỗi sản phẩm $II$ bán lãi 400 nghìn đồng. Để sản xuất được một sản phẩm $I$ thì Chiến phải làm việc trong 3 giờ, Bình phải làm việc trong 1 giờ. Để sản xuất được một sản phẩm $II$ thì Chiến phải làm việc 2 giờ, Bình phải làm việc 6 giờ. Một người không thể làm đồng thời hai sản phẩm. Biết rằng trong một tháng Chiến không thể làm việc quá 180 giờ và Bình không thể làm việc 220 giờ. Tính số tiền lãi lớn nhất trong một tháng của xưởng.

Anh An làm nghề thợ mộc chuyên đóng bàn và ghế học sinh. Mỗi cái bàn anh bán lãi 150 nghìn đồng, mỗi cái ghế anh bán lãi 100 nghìn đồng. Một tuần anh làm việc không quá 60 giờ. Anh đóng một cái bàn tốn hết 6 giờ và đóng một cái ghế tốn hết 3 giờ. Để có lãi, anh An phải làm số ghế nhiều hơn số bàn ít nhất 2 lần. Hỏi một tuần anh An phải đóng bao nhiêu cái bàn và bao nhiêu cái ghế để số tiền lãi thu về lớn nhất?

Một bác nông dân cần trồng lúa và khoai trên diện tích đất gồm 6 ha, với lượng phân bón dự trữ là 100 kg và sử dụng tối đa 120 ngày công. Để trồng 1 ha lúa cần sử dụng 20 kg phân bón, 10 ngày công với lợi nhuận là 30 triệu đồng; để trồng 1 ha khoai cần sử dụng 10 kg phân bón và 30 ngày công với lợi nhuận là 60 triệu đồng. Để đạt được lợi nhuận cao nhất, bác nông dân cần trồng bao nhiêu ha lúa và khoai mỗi loại?