Một người dùng ba loại nguyên liệu A, B, C để sản xuất ra hai loại sản phẩm P và Q. Để sản xuất 1 kg mỗi loại sản phẩm P hoặc Q phải dùng một số kilôgam nguyên liệu khác nhau. Tổng số kilôgam nguyên liệu mỗi loại mà người đó có và số kilôgam từng loại nguyên liệu cần thiết để sản xuất ra 1 kg sản phẩm mỗi loại được cho trong bảng sau:



Biết 1 kg sản phẩm P có lợi nhuận 3 triệu đồng và 1 kg sản phẩm Q có lợi nhuận 5 triệu đồng. Hãy lập phương án sản xuất hai loại sản phẩm trên sao cho có lãi cao nhất.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ (kg) lần lượt là lượng sản phẩm P và Q cần sản xuất, $x\ge 0,y\ge 0$. Từ bảng số liệu (nguyên liệu A: tổng 10 kg, cần 2 kg cho 1 kg P và 2 kg cho 1 kg Q; nguyên liệu B: tổng 4 kg, cần 0 kg cho P và 2 kg cho Q; nguyên liệu C: tổng 12 kg, cần 2 kg cho P và 4 kg cho Q), ta có hệ ràng buộc:
$$2x+2y\le 10\iff x+y\le 5$$
$$2y\le 4\iff y\le 2$$
$$2x+4y\le 12\iff x+2y\le 6$$
Hàm lợi nhuận: $f(x,y)=3x+5y$ (triệu đồng).

Miền nghiệm là tứ giác với các đỉnh: $O(0;0)$, $A(5;0)$, $B(4;1)$ — giao của $x+y=5$ và $x+2y=6$ (trừ hai phương trình được $y=1$, suy ra $x=4$), và $C(0;2)$.

Tính $f$ tại các đỉnh:
- $f(0;0)=0$
- $f(5;0)=15$
- $f(4;1)=3\cdot 4+5\cdot 1=17$
- $f(0;2)=10$

Vậy lợi nhuận lớn nhất là $17$ triệu đồng, đạt khi sản xuất $4$ kg sản phẩm P và $1$ kg sản phẩm Q. Kiểm tra lại ràng buộc: nguyên liệu A dùng $2\cdot 4+2\cdot 1=10\le 10$; nguyên liệu B dùng $2\cdot 1=2\le 4$; nguyên liệu C dùng $2\cdot 4+4\cdot 1=12\le 12$ — đều thỏa mãn.