Một doanh nghiệp khởi nghiệp dự kiến lợi nhuận trong quý đầu tiên là 50 triệu đồng. Kể từ quý thứ hai, do mở rộng quy mô, lợi nhuận mỗi quý dự kiến tăng thêm 15 triệu đồng so với quý liền trước. Tính tổng lợi nhuận doanh nghiệp đạt được sau 2 năm đầu hoạt động.

Cho cấp số cộng $(u_n)$ biết $u_5+u_6=20$. Tính tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.

Ông An trồng cây cao su trên một khu đất hình tam giác đều có diện tích $2019m^2$. Hàng thứ nhất ông trồng 1 cây ở đỉnh, hàng thứ hai cách đỉnh 1 m ông trồng nhiều hơn hàng thứ nhất 2 cây và cứ tiếp tục như vậy đến hàng cuối cùng (mỗi hàng cách đều nhau 1 m và song song với cạnh đáy của khu đất). Hỏi ông An trồng được tất cả bao nhiêu cây cao su?

Một công ty trả lương cho anh A theo phương thức sau: Mức lượng quý đầu tiên là 4,5 triệu đồng/quý (một năm chia thành 4 quý). Kể từ quý tiếp theo, mỗi quý được tăng thêm 0,3 triệu đồng. Hỏi tổng số tiền lương anh A nhận được sau ba năm làm việc là bao nhiêu?

a) Cho cấp số cộng $(u_n)$ với $u_1=1$, công sai $d=\frac{1}{2025}$. Tính giá trị của biểu thức
$$S=\frac{1}{u_1\sqrt{u_2}+u_2\sqrt{u_1}}+\frac{1}{u_2\sqrt{u_3}+u_3\sqrt{u_2}}+\dots +\frac{1}{u_{2025}\sqrt{u_{2026}}+u_{2026}\sqrt{u_{2025}}}$$
b) Tính giới hạn sau: $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\sqrt{6x-3}-\sqrt{20x-15}+x}{x^2-4x+4}$

Ba số phân biệt có tổng là 434 có thể coi là các số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, cũng có thể coi là số hạng thứ 3, thứ 10, thứ 45 của một cấp số cộng. Hỏi phải lấy bao nhiêu số hạng đầu của cấp số cộng này để tổng của chúng bằng 1480?

Cho cấp số cộng $(u_n)$ có các số hạng đều dương, số hạng đầu $u_1=1$ và tổng của 100 số hạng đầu tiên bằng 14950. Tính tổng

$$S=\frac{1}{u_2\sqrt{u_1}+u_1\sqrt{u_2}}+\frac{1}{u_3\sqrt{u_2}+u_2\sqrt{u_3}}+\dots +\frac{1}{u_{2025}\sqrt{u_{2024}}+u_{2024}\sqrt{u_{2025}}}=\frac{1}{a}\left(1-\frac{1}{\sqrt{b}}\right).$$ Khi đó $a+b$ là