Một công ty sản xuất linh kiện điện tử xác định rằng nếu sản xuất $x$ sản phẩm mỗi tháng ($x\in {\mathbb{N}}^{\ast };1\le x\le 5000$) thì doanh thu thu được khi bán hết số hàng đó là $R(x)=-0,01x^2+500x$ (nghìn đồng). Biết chi phí sản xuất bình quân cho một sản phẩm là $H(x)=\frac{60000}{x}+420$ (nghìn đồng). Giả sử công ty luôn bán hết số sản phẩm làm ra. Hỏi trong một tháng, công ty cần sản xuất ít nhất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được lớn hơn $60$ triệu đồng?

Một khu chung cư có $120$ căn hộ cho thuê. Người quản lí của khu chung cư nhận thấy rằng nếu giá thuê một căn hộ là $7$ triệu đồng một tháng thì tất cả các căn hộ đều sẽ có người thuê. Một cuộc khảo sát thị trường cho thấy, trung bình cứ mỗi lần tăng giá thuê một căn hộ mỗi tháng thêm $250$ nghìn đồng thì sẽ có thêm ba căn hộ bị bỏ trống. Người quản lí nên đặt giá thuê mỗi căn hộ là bao nhiêu triệu đồng một tháng để doanh thu một tháng là lớn nhất?

Một chiếc cổng có hình dạng là một parabol có khoảng cách giữa hai chân cổng là $8\text{ m}$. Người ta treo một tấm phông hình chữ nhật có hai đỉnh $M,N$ nằm trên Parabol và hai đỉnh $P,Q$ nằm trên mặt đất như hình vẽ bên. Ở phần phía ngoài phông người ta mua hoa để trang trí với chi phí $200.000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$, biết $MN=4\text{ m},MQ=6\text{ m}$. Tính số tiền (đơn vị: triệu đồng) để mua hoa trang trí. *(Làm tròn đến hàng phần mười)*.

Một trang trại rau sạch ở Đà Lạt mỗi ngày thu hoạch được 1 tấn rau. Nếu giá bán rau là $30000\text{ đoˆˋng/kg}$ thì 1 tấn rau thu hoạch được bán hết. Nếu giá bán rau cao hơn $30000\text{ đoˆˋng/kg}$ thì không bán hết 1 tấn rau. Cứ bán tăng thêm $1000\text{ đoˆˋng}$ cho 1 kg rau, số rau thừa lại tăng thêm $20\text{ kg}$. Số rau thừa này được một cơ sở chăn nuôi thu mua hết để làm thức ăn chăn nuôi với giá $2000\text{ đoˆˋng/kg}$. Hỏi để mỗi ngày thu được số tiền bán rau lớn nhất thì trang trại đó nên bán rau với giá bao nhiêu nghìn đồng?

Ông An muốn làm một cái cổng hình Parabol như hình vẽ bên dưới. Chiều cao $GH=4\text{ m}$, chiều rộng $AB=4\text{ m}$, $AC=BD=0,9\text{ m}$. Ông An làm hai cánh cổng khi đóng lại là hình chữ nhật $CDEF$ tô đậm có giá là $1200000$ đồng/m${}^2$, còn các phần để trắng làm xiên hoa có giá là $900000$ đồng/m${}^2$. Hỏi để làm hai phần nói trên ông An phải trả bao nhiêu triệu đồng (làm tròn đến hàng phần mười)?

Người ta bơm nước vào một cái thùng nhựa đựng nước như hình 1 với hai đáy là hai đường tròn có bán kính $30\text{ cm},15\text{ cm}$, chiều cao thùng là $30\text{ cm}$. Mặt phẳng cắt đi qua trục của chậu nước chứa đường kính bất kỳ hai đáy có thiết diện như hình 2 với phần đường cong là một parabol. Biết vận tốc bơm nước vào thùng là $20\text{ lıˊt/phuˊt}$. Tính vận tốc nước dâng ở bề mặt cong của thùng nhựa khi độ cao mực nước là $10\text{ cm}$? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Hình vẽ dưới đây mô tả một cây cầu vượt có mặt cắt đứng là một phần parabol nối hai điểm $A,B$ và nhận đường trung trực của đoạn $AB$ làm trục đối xứng, $AB=400\text{ m}$. Khoảng cách từ đỉnh cây cầu đến $AB$ bằng $8\text{ m}$. Xét tiếp tuyến $d$ tại điểm $M$ trên mặt cầu, người ta quy ước $\tan (\Delta ,d)$ là độ dốc tại $M$ của mặt cầu, với $\Delta$ là đường thẳng đi qua hai điểm $A,B$. Độ dốc lớn nhất của mặt cầu là bao nhiêu?