Một căn bệnh có 2% dân số mắc phải. Một phương pháp chẩn đoán được phát triển có tỷ lệ chính xác là 99%. Với những người bị bệnh, phương pháp này sẽ đưa ra kết quả dương tính 99% số trường hợp. Với người không mắc bệnh, phương pháp này cũng chẩn đoán đúng 97%. Chọn một người đi kiểm tra.

Một cơ quan hành chính nhà nước thực hiện việc tinh giản biên chế thông qua phỏng vấn. Tỷ lệ nhân viên của cơ quan thuộc hai nhóm trình độ: Đại học, Cao đẳng lần lượt là $65\%$ và $35\%$. Qua phỏng vấn thì tỷ lệ nhân viên bị tinh giản của nhóm đại học là $10\%$, nhóm cao đẳng là $15\%$. Chọn một nhân viên bất kỳ đã bị tinh giản thì hãy tính xác suất để người này có trình độ đại học (kết quả là một số thập phân nhỏ hơn 1 đã làm tròn đến hàng phần trăm).

Trong một trường đại học, một phần mềm phát hiện đạo văn được sử dụng để kiểm tra luận văn của sinh viên trước khi bảo vệ. Thống kê của các năm trước cho thấy có $1\%$ bài viết thực sự là đạo văn. Phần mềm này phát hiện đúng một bài luận văn là đạo văn với xác suất $98\%$. Nếu bài viết chính chủ, phần mềm cảnh báo nhầm là đạo văn với xác suất $3\%$. Kiểm tra ngẫu nhiên một bài luận văn của sinh viên nộp. Gọi $A$ là biến cố: “Bài viết thực sự là đạo văn”. Gọi $B$ là biến cố: “Phần mềm cảnh báo bài viết là đạo văn”. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Năm 2001, Cộng đồng châu Âu có làm một đợt kiểm tra rất rộng rãi các con bò để phát hiện những con bò bị bệnh bò điên. Không có xét nghiệm nào cho kết quả chính xác 100%. Một loại xét nghiệm, mà ở đây ta gọi là xét nghiệm A, cho kết quả như sau: khi con bò bị bệnh bò điên thì xác suất để có phản ứng dương tính trong xét nghiệm A là 70%, còn khi con bò không bị bệnh bò điên thì xác suất để có phản ứng dương tính trong xét nghiệm A là 10%. Biết rằng tỉ lệ bò bị mắc bệnh bò điên ở Hà Lan là 13 con trên 1000000 con (Nguồn: F.M. Dekking et al., A modern introduction to probability and statistics – Understanding why and how, Springer, 2005). Chọn ngẫu nhiên một con bò ở Hà Lan.

Một xét nghiệm chẩn đoán bệnh X có độ nhạy (xác suất người mắc bệnh có kết quả dương tính) là $95\%$ và độ đặc hiệu (xác suất người không mắc bệnh có kết quả âm tính) là $99\%$. Tỉ lệ mắc bệnh X trong cộng đồng là $0,5\%$. Chọn ngẫu nhiên một người trong cộng đồng để thực hiện xét nghiệm.
Gọi biến cố $A$: "người được xét nghiệm mắc bệnh"; biến cố $B$: "kết quả xét nghiệm dương tính".

Một loại kit test dùng để xét nghiệm nhanh COVID-19, cho kết quả dương tính đối với những người thực sự nhiễm vi rút SARS-COV2 là $90\%$ và cũng cho kết quả dương tính đối với những người không nhiễm vi rút SARS-COV2 là $5\%$. Biết tỉnh $T$ có tỉ lệ người nhiễm vi rút SARS-COV2 là $1\%$. Chọn ngẫu nhiên một người của tỉnh $T$ làm xét nghiệm thì cho kết quả dương tính. Tính xác suất để người đó thực sự nhiễm vi rút SARS-COV2 (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Một bộ lọc được sử dụng để chặn thư rác trong các tài khoản thư điện tử. Tuy nhiên, vì bộ lọc không tuyệt đối hoàn hảo nên một thư rác bị chặn với xác suất $0,95$ và một thư đúng (không phải là thư rác) bị chặn với xác suất $0,01$. Thống kê cho thấy tỉ lệ thư rác là $3\%$. Chọn ngẫu nhiên một thư bị chặn, xác suất để đó là thư rác bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).