Một cái bánh có dạng hình chóp, đáy là hình vuông (minh họa như hình vẽ). Giả sử đỉnh của bánh là $S$, đáy là hình vuông $ABCD$ tâm $O$ cạnh $5cm$, $SB=SD$. Gọi $M$ điểm tùy ý trên đoạn $AO$ với $AM=x$, $(x>0)$. Người ta cắt cái bánh bằng dao với mặt cắt là mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua $M$, song song với $SA$ và $BD$, $(\alpha )$ cắt $SO$, $SB$, $AB$ lần lượt tại $N$, $P$, $Q$. Cho $SA=5cm$. Giả sử $x$ để diện tích tứ giác $MNPQ$ lớn nhất. Tính $T=2x+5$ *(kết quả cuối cùng làm tròn đến hàng phần chục)*.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0),B(5;0;0),D(0;5;0),O(2,5;2,5;0)$. Vì $SB=SD$ nên $S$ nằm trên mặt phẳng $x=y$, tức $S$ nằm trên đường thẳng qua $O$ vuông góc với đáy hướng theo $AC$: $S=(t;t;h)$ với $2t^2+h^2=25$ (do $SA=5$). Điểm $M$ trên $AO$ với $AM=x$: $M=\left(\frac{x}{\sqrt{2}};\frac{x}{\sqrt{2}};0\right)$, $0<x<\frac{5\sqrt{2}}{2}$.

Mặt phẳng $(\alpha )$ qua $M$ song song $SA$ (vt $(t;t;h)$) và $BD$ (vt $(1;-1;0)$). Giải giao điểm:
- Với đường $AB$ ($z=0,y=0$): được $Q=(x\sqrt{2};0;0)$, suy ra $MQ\parallel BD$ và $MQ=x$.
- Với đường $SB$: tham số $u=1-\frac{x\sqrt{2}}{5}$ theo hướng $SA$ từ $M$.
- Với đường $SO$: giải hệ cũng được cùng tham số $u=1-\frac{x\sqrt{2}}{5}$ và hệ số $v=0$, tức $N=M+u\cdot \overrightarrow{SA}$, suy ra $MN\parallel SA$ và $MN=u\cdot SA=5-\sqrt{2}x$.

Vì $\overrightarrow{SA}\cdot (1;-1;0)=t-t=0$ nên $MN\perp MQ$. Tứ giác $MNPQ$ là hình bình hành (các cạnh tương ứng song song $SA$ và $BD$) với diện tích:
$$S_{MNPQ}=MN\cdot MQ=x(5-\sqrt{2}x).$$
Hàm $f(x)=5x-\sqrt{2}{x}^2$ đạt cực đại tại $f^{\prime }(x)=5-2\sqrt{2}x=0\Rightarrow x=\frac{5}{2\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{4}\approx 1,7678$ (thỏa miền xác định).

Khi đó $T=2x+5=\frac{5}{\sqrt{2}}+5=\frac{5\sqrt{2}}{2}+5\approx 8,5355\approx 8,5$.