Hình vẽ bên minh họa đường bay của một chiếc trực thăng cất cánh từ một sân bay theo một đường thẳng. Xét hệ trục toạ độ $Oxyz$ có gốc toạ độ $O$ là chân tháp điều khiển của sân bay, mặt sân bay là một phần của mặt phẳng $Oxy$, đơn vị trên mỗi trục là kilômét. Trực thăng cất cánh từ điểm $G(1;0,5;0)$. Biết rằng tại thời điểm $t$ phút sau khi cất cánh ($t\ge 0$), trực thăng ở vị trí điểm $H$ thỏa mãn $\overrightarrow{GH}=(0,5t;3t;2t)$. Trong không gian có một đài quan sát đặt tại điểm $K(4;-1;5)$. Tính khoảng cách giữa máy bay và đài quan sát sau $2$ phút theo đơn vị kilômét (làm tròn đến hàng phần mười).

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, xét mô hình phòng không như sau: Rađa đặt tại gốc tọa độ $O(0;0;0)$, tên lửa đặt tại điểm $A(0;100;0)$; mỗi đơn vị tương ứng với $10\text{ m}$; mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất; giả sử mọi máy bay không người lái và tên lửa đều chuyển động thẳng đều. Tại thời điểm $t=0$ giây, rađa phát hiện ra máy bay ở tọa độ $M_0(12000;0;40)$; tại thời điểm $t=1$ giây rađa theo dõi thấy máy bay ở tọa độ $M_1(11990;20;38)$.

Trong không gian $Oxyz$, bề mặt của Trái Đất là mặt cầu có phương trình $x^2+y^2+z^2=1$ (1 đơn vị dài trong không gian $Oxyz$ tương ứng với 6371 km trên thực tế); vị trí $P$ có vĩ độ, kinh độ tương ứng là ${\alpha }^{\circ }\text{N},{\beta }^{\circ }\text{E}$ ($0<\alpha <90,0<\beta <180$) có tọa độ là $P(\cos {\alpha }^{\circ }\cos {\beta }^{\circ };\cos {\alpha }^{\circ }\sin {\beta }^{\circ };\sin {\alpha }^{\circ })$. Ứng dụng Google Maps cho phép xác định khoảng cách giữa hai vị trí trên bề mặt Trái Đất khi biết vĩ độ và kinh độ của chúng. Khoảng cách giữa hai vị trí $P$ và $Q$ trên bề mặt Trái Đất là độ dài cung nhỏ $PQ$ của đường tròn có tâm $O$ và đi qua hai điểm $P,Q$. Tính khoảng cách trên mặt đất giữa hồ Hoàn Kiếm (Hà Nội) ở vị trí $21^{\circ }02^{\prime }\text{N},105^{\circ }51^{\prime }\text{E}$ và đảo Trường Sa ở vị trí $8^{\circ }39^{\prime }\text{N},111^{\circ }56^{\prime }\text{E}$ (đơn vị: km; kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị trên các trục là mét), mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất, trục $Oz$ thẳng đứng hướng lên cao, một trạm radar tại gốc $O(0;0;0)$ phát hiện một tên lửa lạ (tên lửa A) được phóng lên tại thời điểm $t=0$ giây. Vị trí của tên lửa A sau $t$ giây kể từ lúc phát hiện được xác định bởi: $\{\begin{array}{l}x=300t\\ y=400t\\ z=-2t^2+80t\end{array}$. Để bảo vệ vùng trời, hệ thống phòng thủ tại vị trí $I(5600;6500;0)$ quyết định phóng một tên lửa đánh chặn (tên lửa B). Tên lửa B bay theo quỹ đạo đường thẳng với tốc độ không đổi $v_B=200\text{ m/s}$. Phương án đánh chặn được thiết lập là bắn phá hủy tên lửa A ngay khi nó đạt độ cao lớn nhất. Xét tính đúng sai các mệnh đề sau.

Một chiếc trực thăng $H$ cất cánh từ một sân bay. Xét hệ trục tọa độ $Oxyz$ có gốc tọa độ $O$ là chân tháp điều khiển không lưu; trục $Ox$ là hướng Đông, trục $Oy$ là hướng Bắc và trục $Oz$ là trục thẳng đứng, đơn vị trên mỗi trục là kilômét. Trực thăng cất cánh từ điểm $G$ trên mặt đất. Vectơ $\vec{u}$ chỉ vị trí của trực thăng tại thời điểm $t$ phút sau khi cất cánh $(t\ge 0)$ có tọa độ là $\vec{u}=\left(1+t;\frac{1}{2}+2t;2t\right)$. Một hòn đảo ở vị trí $D(150;115;0)$. Gọi $M$ là vị trí của máy bay $H$ tại thời điểm $t$ phút sau khi cất cánh.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, mặt phẳng $(Oxy)$ là mặt đất, trục $Oz$ hướng lên (đơn vị đo là mét). Một xạ thủ đặt súng ở vị trí gốc tọa độ $O$ ngắm bắn mục tiêu theo hướng véctơ $\vec{u}=(3;-5;4)$ và tốc độ bay của viên đạn là $900\text{ m/s}$. Biết mục tiêu đang ở tọa độ điểm $A(170;-310;240)$ và bay với tốc độ $108\text{ km/h}$ theo hướng véctơ $\vec{v}=(1;1;0)$, viên đạn găm trúng mục tiêu tại tọa độ điểm $B(a;b;c)$. Tổng $a+b+c$ bằng bao nhiêu? (giả sử hướng bay và vận tốc bay là không đổi, viên đạn được tính xuất phát tại điểm $O$).

Một tháp trung tâm kiểm soát không lưu ở sân bay cao $80\text{ m}$ sử dụng ra đa có phạm vi theo dõi $500\text{ km}$ được đặt trên đỉnh tháp. Chọn hệ trục toạ độ $Oxyz$ có gốc $O$ trùng với vị trí chân tháp, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất sao cho tia $Ox$ hướng về phía tây, tia $Oy$ hướng về phía nam, tia $Oz$ hướng thẳng đứng lên phía trên (Hình 1) (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét). Một máy bay tại vị trí $A$ cách mặt đất $10\text{ km}$, cách $300\text{ km}$ về phía đông và $200\text{ km}$ về phía bắc so với tháp trung tâm kiểm soát không lưu.