Hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và: $f^{\prime }(x)=2024-2{\sin }^2\frac{x}{2},\forall x,f\left(\frac{\pi }{2}\right)=\frac{2023\pi }{2}$. Tính $f(0)$.

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[1;2]$. Biết $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ trên $[1;2]$ sao cho $F(1)=2026$; $F(2)=2024$. Tích phân ${\int }_1^{2}f(x)\mathrm{d}x$ bằng

Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi các đường $y=f(x)$ liên tục, trục hoành $Ox$ và hai đường thẳng $x=a$, $x=b$ $(a<b)$. Công thức tính diện tích hình phẳng $(H)$ là

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[0;5]$ có ${\int }_0^{5}f(x)dx=3$ và ${\int }_2^{3}f(x)dx=2$. Tính $P={\int }_0^{2}f(x)dx+{\int }_3^{5}f(x)dx$.

Cho tích phân $$\underset{\frac{\pi }{4}}{\overset{\frac{\pi }{3}}{\int }}\sin x\mathrm{d}x=\frac{a+b\sqrt{2}}{c}$$ với $a,b\in \mathbb{Z}$, $c\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, các phân số $\frac{a}{c},\frac{b}{c}$ tối giản. Tính tổng $S=a+2b-c$.

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ. Biết rằng diện tích các miền hình phẳng $(A),(B)$ lần lượt bằng 4 và 9. Tính tích phân $\underset{-1}{\overset{4}{\int }}\left[f(x)-2\right]\mathrm{d}x$.

Nếu ${\int }_1^{3}f(x)\mathrm{d}x=6$ thì ${\int }_1^3\left[\frac{1}{3}f(x)+1\right]\mathrm{d}x$ bằng