Hai bờ của một đoạn sông được xem là song song với nhau (như hình vẽ). Bạn Bình muốn ước lượng khoảng cách từ nhà của mình tới trường học ở phía bờ bên kia của đoạn sông đó. Trên bờ sông thứ nhất, bạn ấy đã coi vị trí nhà mình là điểm B, chọn thêm một cọc tiêu tại vị trí C và đo được khoảng cách BC = 35m. Bình coi vị trí của trường là một điểm A trên bờ còn lại, rồi dùng giác kế đo được các góc B = 30${}^0$, góc C = 105${}^0$. Hãy giúp bạn Bình tính khoảng cách AB (làm tròn đến hàng phần mười).

Trong trò chơi bi-a 1 băng, người chơi phải dùng cơ để đánh bi cái sao cho bi cái chạm ít nhất một cạnh bàn trước khi chạm vào bi mục tiêu. Khi bi cái lăn tới chạm vào cạnh bàn, nó sẽ bị bật ra theo quy tắc góc tới bằng góc phản xạ (xem hình vẽ).


Một người đang chơi bi-a 1 băng trên mặt bàn hình chữ nhật có chiều dài 100 inch và chiều rộng 50 inch. Bi cái đang ở tâm $O$ của mặt bàn và bi mục tiêu đang ở điểm $M$ trên mặt bàn. Người đó ước lượng được cần đánh bi cái chạm vào cạnh dài của bàn tại điểm $C$ với góc tới $30^{\circ }$ và góc $\widehat{MOC}=45^{\circ }$ thì bi cái sẽ chạm vào bi mục tiêu. Tính quãng đường bi cái đã di chuyển từ $O$ đến $M$ (coi bán kính của các viên bi là không đáng kể).

Tính độ dài đường cao kẻ từ $A$ của tam giác $ABC$ có $AB=5,AC=8$ và $BAC=60^{\circ }$.

Trên ngọn đồi có một cái tháp cao 90m. Đỉnh tháp $B$ và chân tháp $C$ nhìn điểm $A$ ở chân đồi dưới các góc tương ứng bằng $30^{\circ }$ và $60^{\circ }$ so với phương thẳng đứng. Xác định chiều cao $HA$ của ngọn đồi.

Trên mặt sàn phẳng người ta dựng một chiếc cột cao 5 m vuông góc với mặt đất. Dưới ánh nắng mặt trời, bóng của cột trên mặt đất dài 9 m. Tính góc giữa đường thẳng chứa tia nắng mặt trời và mặt đất (tính gần đúng theo đơn vị độ, kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

a) Cho tam giác $ABC$ có $AB=3$; $\hat{C}=60^{\circ }$. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

b) Một người đứng ở $A$, trên một tháp truyền hình $DA$ cao $380m$ so với mặt đất, muốn xác định khoảng cách giữa hai cột mốc $B,C$ trên mặt đất bên dưới. Người đó quan sát thấy góc được tạo bởi hai đường ngắm tới hai mốc này là $50^{\circ }$, góc giữa phương thẳng đứng và đường ngắm tới một điểm mốc $B$ trên mặt đất là $66^{\circ }$ và điểm mốc $C$ là $55^{\circ }$ (Hình vẽ). Tính diện tích tam giác $BCD$ theo đơn vị $m^2$. Kết quả làm tròn đến hàng phần chục.

Để đo khoảng cách từ vị trí $B$ trên bờ sông đến vị trí $C$ của con tàu bị mắc cạn gần một cù lao giữa sông, bạn Minh đi dọc bờ sông từ vị trí $B$ đến vị trí $A$ cách $B$ một khoảng bằng $60m$ và đo các góc $\widehat{BAC}=85^{\circ }$, $\widehat{ABC}=45^{\circ }$. (Hình vẽ). Tính khoảng cách $BC$ theo đơn vị mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).