Để tránh vùng bị sạt lở do ảnh hưởng của bão Yagi. Người dân xã $A$ đi đến xã $D$ phải đi qua xã $B$, $C$ như hình mô tả



Để rút ngắn khoảng cách và tránh sạt lở cho người dân, chính quyền địa phương dự định làm đường xuyên núi nối xã $A$ và xã $D$. Hỏi độ dài đường xuyên qua núi giảm bao nhiêu $km$ so với đường cũ đi qua 2 xã $B,C$ (làm tròn đến hàng phần chục)?

Một chiếc thang có dạng hình thang cân cao $6m$, hai chân thang cách nhau $80cm$, hai ngọn thang cách nhau $60cm$. Thang được dựa vào bờ tường như hình bên. Tính góc tạo giữa đường thẳng chân tường và cạnh cột thang (tính gần đúng theo đơn vị độ, làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Một bồn chứa nước hình trụ bằng nhựa dẻo cao 4, có một nắp nhỏ bên trên để bơm nước vào thùng, trong thùng có sẵn 1 lượng nước. Để đo chiều cao mực nước trong thùng người ta làm như sau: lấy 1 cây sào tre dài 5m nhúng vào thùng nước sao cho một đầu chạm đáy và một đầu chạm với mặt trên của bồn nước. Sau khi rút sào tre ra thì đo được phần sào tre bị ướt là 1,5m (tham khảo hình vẽ). Hỏi mực nước trong thùng cao bao nhiêu mét?

Một người đứng ở vị trí A trên nóc một ngôi nhà cao 4 m đang quan sát một cây cao cách ngôi nhà 18 m và đo được $\widehat{BAC}=40^{\circ }$. Tính chiều cao của cây đó (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm theo đơn vị mét).

Bánh tráng sau khi tráng, người ta sẽ đặt chúng trên tấm liếp tre rồi phơi nắng. Trên mặt đất phẳng, người ta dựng tấm liếp tre (xem như đoạn thẳng $AB$) có chiều dài bằng 3 m và tạo với mặt đất một góc $60^{\circ }$. Tại một thời điểm dưới ánh sáng mặt trời, bóng $BC$ của tấm liếp tre (đoạn thẳng $BC$) trên mặt đất dài 3,6 m và tạo với tấm liếp một góc bằng $120^{\circ }$ (tức là $\widehat{ABC}=120^{\circ }$) (hình vẽ bên dưới).
Góc giữa mặt đất và đường thẳng chứa tia sáng mặt trời tại thời điểm nói trên bằng bao nhiêu độ? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Để đo khoảng cách từ một điểm $A$ trên bờ sông đến gốc cây $C$ trên cù lao giữa sông, Anh Nam chọn một điểm $B$ cùng ở trên bờ với $A$ sao cho từ $A$ và $B$ có thể nhìn thấy điểm $C$. Anh Nam đo được $AB=40m$, $\widehat{CAB}=\alpha =40^{\circ }$, $\widehat{CBA}=\beta =60^{\circ }$ (tham khảo hình vẽ bên). Hãy cho biết khoảng cách AC bằng bao nhiêu?

1. Tại một vị trí A trên bờ biển, Nam quan sát một hòn đảo nhỏ để xác định bề rộng của nó theo chiều quan sát được (là khoảng cách giữa hai điểm ngoài cùng bên trái và bên phải của đảo mà Nam quan sát được, gọi hai điểm đó là B, C (Hình 2)).

Để tính độ dài đoạn BC, Nam chọn một vị trí M trên đất liền sao cho A nằm trong góc $\widehat{BMC}$, rồi tiến hành đo đạc và thu được các thông số sau: $AM=0,2$ km, $\widehat{BAC}=113^{\circ }$, $\widehat{MAC}=103^{\circ }$, $\widehat{AMB}=31^{\circ }$ và $\widehat{AMC}=69^{\circ }$ (Hình 3).

Em hãy giúp Nam tính bề rộng của hòn đảo (theo đơn vị km, kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

2. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB=a$, $AD=2a$; cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Đường thẳng $SD$ tạo với mặt phẳng $(ABCD)$ một góc $\phi$ thỏa mãn $\tan \phi =\frac{\sqrt{2}}{2}$. Gọi $M,H$ lần lượt là trung điểm của $BC$, $SB$; $N$ là giao điểm của $DM$ và $AC$.

a. Tính thể tích của khối chóp $S.MNC$.

b. Tính khoảng cách từ điểm $H$ đến mặt phẳng $(SMN)$.