1. Tại một vị trí A trên bờ biển, Nam quan sát một hòn đảo nhỏ để xác định bề rộng của nó theo chiều quan sát được (là khoảng cách giữa hai điểm ngoài cùng bên

Question

1. Tại một vị trí A trên bờ biển, Nam quan sát một hòn đảo nhỏ để xác định bề rộng của nó theo chiều quan sát được (là khoảng cách giữa hai điểm ngoài cùng bên trái và bên phải của đảo mà Nam quan sát được, gọi hai điểm đó là B, C (Hình 2)).

Để tính độ dài đoạn BC, Nam chọn một vị trí M trên đất liền sao cho A nằm trong góc $B M C$ , rồi tiến hành đo đạc và thu được các thông số sau: $A M = 0, 2$ km, $B A C = 11 3^{\circ}$ , $M A C = 10 3^{\circ}$ , $A M B = 3 1^{\circ}$ và $A M C = 6 9^{\circ}$ (Hình 3).

Em hãy giúp Nam tính bề rộng của hòn đảo (theo đơn vị km, kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

2. Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình chữ nhật với $A B = a$ , $A D = 2 a$ ; cạnh bên $S A$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Đường thẳng $S D$ tạo với mặt phẳng $(A B C D)$ một góc $φ$ thỏa mãn $tan φ = \frac{2}{2}$ . Gọi $M, H$ lần lượt là trung điểm của $B C$ , $S B$ ; $N$ là giao điểm của $D M$ và $A C$ .

a. Tính thể tích của khối chóp $S . M N C$ .

b. Tính khoảng cách từ điểm $H$ đến mặt phẳng $(S M N)$ .

Đề Thi Chuẩn · Accepted Answer

Đáp án đúng: Tự luận. Lời giải chi tiết: (AI giải đề cho tôi) **Phần 1.** Trong tam giác AMC: MAC =103 , AMC =69 nên ACM =8 . Theo định lý sin: AC= 0 , 2 69 8 1 , 3419 km. Các góc quanh A: BAC =113 , MAC =103 nên BAM =360 -113 -103 =144 . Trong tam giác AMB: ABM =180 -31 -144 =5 , suy ra AB= 0 , 2 31 5 1 , 1816 km. Trong tam giác ABC với BAC =113 , theo định lý cosin: Suy ra BC 2 , 11 km. Vậy bề rộng hòn đảo khoảng 2 , 11 km. **Phần 2.** Góc giữa SD và (ABCD) là SDA , nên = SA AD = 2 2 SA=2a 2 2 =a 2. Chọn hệ trục: A(0;0;0), B(a;0;0), C(a;2a;0), D(0;2a;0), S(0;0;a 2), M(a;a;0) (trung điểm BC). **a.** N là giao điểm của DM và AC: DM: (at;\,2a-at;\,0), AC: (s;\,2s;\,0) s=at, 2at=2a-at t= 23, N ( 2a 3 ; 4a 3 ;0 ). Diện tích tam giác MNC: MN = (- a3; a3;0 ), MC =(0;a;0), | MN MC |= a 2 3 , S MNC = a 2 6 . Thể tích khối chóp S.MNC (đáy MNC nằm trong mặt phẳng đáy, đường cao từ S bằng SA): **b.** H trung điểm SB: H ( a2;0; a 2 2 ). SM = (a;a;-a 2 ), SN = ( 2a 3 ; 4a 3 ;-a 2 ). n = SM SN = a 2 3 ( 2; 2;2 ), chọn n =( 2; 2;2). Mặt phẳng (SMN) qua S(0;0;a 2): 2 x+ 2 y+2z-2a 2=0. Khoảng cách từ H:

Đề Thi Học Sinh Giỏi Lớp 12 Toán 2025-2026 Sở GD&ĐT Quảng Trị

Các câu hỏi khác trong đề (4 câu)

Bài tập trắc nghiệm cùng chuyên đề: Đo khoảng cách chiều cao bằng giải tam giác (240 câu)