Để đo khoảng cách từ một điểm $A$ trên bờ sông đến gốc cây $C$ trên cù lao giữa sông, Anh Nam chọn một điểm $B$ cùng ở trên bờ với $A$ sao cho từ $A$ và $B$ có thể nhìn thấy điểm $C$. Anh Nam đo được $AB=40m$, $\widehat{CAB}=\alpha =40^{\circ }$, $\widehat{CBA}=\beta =60^{\circ }$ (tham khảo hình vẽ bên). Hãy cho biết khoảng cách AC bằng bao nhiêu?

1. Tại một vị trí A trên bờ biển, Nam quan sát một hòn đảo nhỏ để xác định bề rộng của nó theo chiều quan sát được (là khoảng cách giữa hai điểm ngoài cùng bên trái và bên phải của đảo mà Nam quan sát được, gọi hai điểm đó là B, C (Hình 2)).

Để tính độ dài đoạn BC, Nam chọn một vị trí M trên đất liền sao cho A nằm trong góc $\widehat{BMC}$, rồi tiến hành đo đạc và thu được các thông số sau: $AM=0,2$ km, $\widehat{BAC}=113^{\circ }$, $\widehat{MAC}=103^{\circ }$, $\widehat{AMB}=31^{\circ }$ và $\widehat{AMC}=69^{\circ }$ (Hình 3).

Em hãy giúp Nam tính bề rộng của hòn đảo (theo đơn vị km, kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

2. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB=a$, $AD=2a$; cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Đường thẳng $SD$ tạo với mặt phẳng $(ABCD)$ một góc $\phi$ thỏa mãn $\tan \phi =\frac{\sqrt{2}}{2}$. Gọi $M,H$ lần lượt là trung điểm của $BC$, $SB$; $N$ là giao điểm của $DM$ và $AC$.

a. Tính thể tích của khối chóp $S.MNC$.

b. Tính khoảng cách từ điểm $H$ đến mặt phẳng $(SMN)$.

Trong một buổi cắm trại bên bờ hồ, các đội thi đua chạy từ lều chỉ huy A cách bờ hồ 20 m đến hồ lấy nước và mang về lều chỉ huy B cách bờ hồ 50 m.

Hai lều chỉ huy A và B cách nhau 50 m. Đoạn đường đi ngắn nhất mỗi lượt các đội có thể đi là bao nhiêu mét (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?

Một cột điện có chiều cao $h$ mét được dựng vuông góc với mặt đất. Sau khi cơn bão Yagi đi qua, cột điện bị nghiêng về phía nam một góc $30^{\circ }$ so với vị trí ban đầu. Tại thời điểm mặt trời ở hướng đông với các tia nắng tạo với mặt đất một góc $30^{\circ }$, người ta nhận thấy bóng trên mặt đất của cột điện bị nghiêng có chiều dài bằng 18 mét. Giá trị của $h$ bằng bao nhiêu mét? *(kết quả làm tròn tới hàng phần chục)*

Một chiếc xe đi từ vị trí $A$ đến vị trí $D$. Vì chướng ngại vật nên chiếc xe đi vòng qua các vị trí B, C. Biết rằng $AB=12$ km, $BC=10$ km, $CD=8$ km, $\widehat{ABC}=101^{\circ }$ và $\widehat{BCD}=145^{\circ }$. Biết rằng cứ 1 km thì người đó mất 5 phút để đi. Hỏi trên đoạn đường $AD$ thì mất bao nhiêu giờ ? (giả sử bỏ qua những khúc đường gập ghềnh và thay đổi vận tốc)

Từ hai vị trí $A$ và $B$ của một tòa nhà, người ta quan sát đỉnh $C$ của ngọn núi. Biết rằng độ cao $AB$ bằng 70m, phương nhìn $AC$ tạo với phương nằm ngang góc $30^{\circ }$. Phương nhìn $BC$ tạo với phương nằm ngang góc $15^{\circ }30^{\prime }$. Tính chiều cao của ngọn núi so với mặt đất (làm tròn đến hàng đơn vị).

Từ hai vị trí $A$ và $B$ của một tòa nhà, người ta quan sát đỉnh $C$ của ngọn núi. Biết rằng độ cao $AB$ bằng 70m, phương nhìn $AC$ tạo với phương nằm ngang góc $30^{\circ }$. Phương nhìn $BC$ tạo với phương nằm ngang góc $15^{\circ }30^{\prime }$. Tính chiều cao của ngọn núi so với mặt đất (làm tròn đến hàng đơn vị).