Chứng minh đẳng thức
1) $4.{\cos }^{4}x-2\cos 2x-\frac{1}{2}\cos 4x=\frac{3}{2}$
2) ${\cos }^{3}x.\sin x-{\sin }^{3}x.\cos x=\frac{\sin 4x}{4}$
3) ${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x=\frac{1}{4}.\cos 4x+\frac{3}{4}$
4) $\frac{1+\sin x}{\cos x}=\cot g\left(\frac{\pi }{4}-\frac{x}{2}\right)$

(AI giải đề cho tôi)
Câu 122: Chứng minh bốn đẳng thức lượng giác.

1) $4{\cos }^{4}x-2\cos 2x-\frac{1}{2}\cos 4x=\frac{3}{2}$
Ta có ${\cos }^{4}x={\left(\frac{1+\cos 2x}{2}\right)}^2=\frac{1+2\cos 2x+{\cos }^{2}2x}{4}$, suy ra $4{\cos }^{4}x=1+2\cos 2x+{\cos }^{2}2x$.
Do đó:
$$4{\cos }^{4}x-2\cos 2x-\frac{1}{2}\cos 4x=1+{\cos }^{2}2x-\frac{1}{2}(2{\cos }^{2}2x-1)=1+{\cos }^{2}2x-{\cos }^{2}2x+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}.$$ Đẳng thức được chứng minh.

2) ${\cos }^{3}x\sin x-{\sin }^{3}x\cos x=\frac{\sin 4x}{4}$
VT $=\sin x\cos x({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x)=\frac{1}{2}\sin 2x\cdot \cos 2x=\frac{1}{4}\sin 4x=$ VP. Đpcm.

3) ${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x=\frac{1}{4}\cos 4x+\frac{3}{4}$
VT $=({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x{)}^2-2{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x=1-\frac{1}{2}{\sin }^{2}2x=1-\frac{1}{4}(1-\cos 4x)=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}\cos 4x=$ VP. Đpcm.

4) $\frac{1+\sin x}{\cos x}=\cot \left(\frac{\pi }{4}-\frac{x}{2}\right)$ (với $\cos x\ne 0$)
Ta có $\cot \left(\frac{\pi }{4}-\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos \left(\frac{\pi }{4}-\frac{x}{2}\right)}{\sin \left(\frac{\pi }{4}-\frac{x}{2}\right)}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2}\right)}{\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}\right)}=\frac{\cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}}$.
Nhân cả tử và mẫu với $\cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2}$:
$$\cot \left(\frac{\pi }{4}-\frac{x}{2}\right)=\frac{{\left(\cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2}\right)}^2}{{\cos }^2\frac{x}{2}-{\sin }^2\frac{x}{2}}=\frac{1+\sin x}{\cos x}.$$ Đpcm.

Cả bốn đẳng thức đều đúng.