Cho tập hợp $S=\{1;2;3;\dots ;2025\}$ gồm 2025 số nguyên dương đầu tiên. Xét một tập con $M$ của tập hợp $S$ có nhiều hơn một phần tử thỏa mãn: với mỗi $a,b\in M$, nếu $2b-a\in S$ thì $2b-a\in M$.

Gọi $k$ là số phần tử của tập hợp $M$. Chứng minh tồn tại $k$ tập hợp $A_1,A_2,\dots ,A_k$ là các tập con của tập hợp số tự nhiên $\mathbb{N}$ và thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:

i) ${\bigcup }_{i=1}^k{A}_i=\mathbb{N}$ và $A_i\cap A_j=\varnothing ,\forall i,j\in \{1;2;\dots ;k\},i\ne j$.

ii) Với mỗi $a,b\in M$, tồn tại $i,j\in \{1;2;\dots ;k\}$ sao cho $\{a+x\mid x\in A_i\}=\{b+y\mid y\in A_j\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ý tưởng: vì chỉ cần tồn tại $i,j$ với $a+A_i=b+A_j$, ta chọn các $A_i$ là các lớp thặng dư modulo $k$ (với $k=|M|\ge 2$). Khi đó với mọi cặp số $a,b$ (nói riêng với mọi $a,b\in M$), phép dịch chuyển $a+A_i$ luôn là một lớp thặng dư modulo $k$, nên luôn khớp với một $A_j$ dịch bởi $b$.

Cách dựng: Vì $M$ có $k$ phần tử với $k\ge 2$, xét $k$ tập sau, với $i=1,2,\dots ,k$:
$$A_i=\{n\in \mathbb{N}\mid n\equiv i-1(\mathrm{mod}k)\}.$$

Kiểm tra điều kiện i): Mỗi số tự nhiên $n$ có đúng một số dư $r\in \{0,1,\dots ,k-1\}$ khi chia cho $k$, do đó $n$ thuộc đúng một tập $A_{r+1}$. Suy ra ${\bigcup }_{i=1}^k{A}_i=\mathbb{N}$ và $A_i\cap A_j=\varnothing$ với mọi $i\ne j$.

Kiểm tra điều kiện ii): Lấy tùy ý $a,b\in M$. Với mọi $i\in \{1,\dots ,k\}$ ta có
$$a+A_i=\{a+x\mid x\equiv i-1(\mathrm{mod}k)\}=\{n\in \mathbb{N}\mid n\equiv a+i-1(\mathrm{mod}k)\}.$$
Chọn $j\in \{1,\dots ,k\}$ sao cho $j-1\equiv a+i-1-b(\mathrm{mod}k)$ (luôn tồn tại duy nhất). Khi đó
$$b+A_j=\{n\in \mathbb{N}\mid n\equiv b+j-1\equiv a+i-1(\mathrm{mod}k)\}=a+A_i.$$
Vậy điều kiện ii) thỏa mãn (thực ra nó đúng cho mọi $a,b\in \mathbb{N}$, nói riêng cho mọi $a,b\in M$).

Kết luận: Các tập $A_1,A_2,\dots ,A_k$ được dựng như trên thỏa mãn đồng thời hai điều kiện i) và ii), nên tồn tại $k$ tập hợp như yêu cầu. $■$

Nhận xét: Tính chất đóng của $M$ (nếu $a,b\in M$ và $2b-a\in S$ thì $2b-a\in M$) chỉ bảo đảm $M$ là một cấp số cộng hữu hạn trong $S$, tuy nhiên phép dựng trên không cần dùng đến tính chất này vì điều kiện ii) chỉ yêu cầu tồn tại cặp chỉ số $i,j$ tương ứng.