Cho $P(x)$ là đa thức với hệ số nguyên có bậc bằng 2026 thỏa mãn: $P(x)$ không phân tích được thành tích của hai đa thức với hệ số nguyên có bậc lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng nếu $r$ là một nghiệm thực của $P(x)$ thì $5r+8$ không là nghiệm của $P(x)$.

(AI giải đề cho tôi)
Giả sử phản chứng: tồn tại số thực $r$ sao cho $P(r)=0$ và $P(5r+8)=0$. Xét đa thức $P(T(x))$ với $T(x)=5x+8$, khi đó $P(T(x))\in \mathbb{Z}[x]$ và $P(T(r))=P(5r+8)=0$, tức $r$ là nghiệm chung của $P(x)$ và $P(T(x))$. Do $P$ không phân tích được thành tích hai đa thức hệ số nguyên bậc $\ge 1$, theo định lý Gauss $P$ bất khả quy trên $\mathbb{Q}$, nên $\gcd (P(x),P(T(x)))$ khác hằng số phải là bội của $P$, tức $P(x)\mid P(T(x))$ trong $\mathbb{Q}[x]$. Vì $P$ primitive và $P(T(x))\in \mathbb{Z}[x]$ nên $P(x)\mid P(T(x))$ trong $\mathbb{Z}[x]$. Hai đa thức cùng bậc 2026 nên $P(T(x))=cP(x)$ với $c$ nguyên; so sánh hệ số cao nhất: nếu $a$ là hệ số cao nhất của $P$ thì hệ số cao nhất của $P(T(x))$ là $a\cdot 5^{2026}$, suy ra $c=5^{2026}$, tức $$P(5x+8)=5^{2026}P(x).$$ Suy ra với mọi $n\ge 1$: $P(T^n(x))=5^{2026n}P(x)$ (quy nạp). Do đó nếu $P(r)=0$ thì $P(T^n(r))=0$ với mọi $n$, trong đó $T^n(r)=5^{n}r+2(5^n-1)$. Nếu $r=-2$ thì $r$ là nghiệm hữu tỷ của $P$, mâu thuẫn với định lý nghiệm hữu tỷ vì $P$ bất khả quy bậc $2026\ge 2$ nên không có nghiệm hữu tỷ. Vậy $r\ne -2$ và dãy $T^n(r)=5^n(r+2)-2$ tăng ngặt theo $n$, cho vô số nghiệm thực phân biệt của $P$ — mâu thuẫn với bậc 2026. Vậy giả thiết phản chứng sai, tức nếu $r$ là nghiệm thực của $P$ thì $5r+8$ không là nghiệm của $P$. Đpcm.