Cho tam giác $ABC$. Điểm $M$ trên cạnh $BC$ thỏa mãn $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$. Tỉ số $\frac{MB}{MC}$ bằng bao nhiêu?

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ và $AB=2,AC=3$. Gọi $I$ là trung điểm $AB$ và $M$ là một điểm trên cạnh $BC$ sao cho $MB=2MC$. Các phát biểu sau đúng hay sai?
a) Hai vectơ $\overrightarrow{BI},\overrightarrow{AB}$ cùng phương với nhau.
b) $\left|\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AC}\right|=2\sqrt{5}$.
c) Giá trị của biểu thức $P=\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}$ bằng $\frac{28}{9}$.
d) Biểu diễn vectơ $\overrightarrow{AM}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ là $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$.

Cho $\Delta ABC$ có trọng tâm $G$. Gọi $I$ là điểm sao cho $B$ là trung điểm của $AI$ và $J$ là điểm trên cạnh $AC$ sao cho $AJ=\frac{2}{5}AC$. a) Chứng minh $\overrightarrow{IJ}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AB}$. b) Biểu diễn $\overrightarrow{IG}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$.

Điểm $G$ là trọng tâm tam giác $NPM$ khi và chỉ khi

Cho hình bình hành $ABCD$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng $BC$ và $AD$. Chứng minh: $\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AC}$.

Một giỏ hoa treo trong nhà làm bằng 3 sợi dây không giãn, mỗi sợi dài $60(cm)$ miệng kệ là một miếng gỗ cân đối hình tròn bán kính $20(cm)$, ba sợi dây được thắt một đầu bên trên và đỡ giá gỗ tại 3 điểm tạo thành tam giác đều (giả sử mối thắt của 3 sợi dây và mối nối của mỗi sợi dây với miếng gỗ không đáng kể) (tham khảo hình vẽ bên). Biết lực chịu đựng của mỗi sợi dây bằng nhau và mỗi sợi chịu không quá $15N$; trọng lượng của miếng giá gỗ là $5N$. Tính trọng lượng tối đa của các chậu hoa để dây treo không bị đứt (đơn vị $N$, kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Cho tam giác đều $ABC$ có cạnh bằng 1. Điểm $M$ thay đổi nhưng luôn thỏa mãn $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\right|=2$. Tính giá trị nhỏ nhất của $\left|\overrightarrow{MC}\right|$.