Cho tam giác ABC, đặt $BC=a$, $CA=b$, $AB=c$.

Chứng minh rằng: Nếu $a+b=2c$ thì tích $P=\tan \frac{A}{2}\cdot \tan \frac{B}{2}$ có giá trị không đổi.

Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân $(AB<AC)$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Dựng hai đường kính $A{A}^{\prime }$, $B{B}^{\prime }$ của đường tròn $(O)$ và điểm $D$ sao cho $A^{\prime }C{B}^{\prime }D$ là hình bình hành. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC$, $E$ là giao điểm của $BD$ và $AC$, $F$ là giao điểm của $CD$ và $AB$. Gọi $H_1,H_2$ lần lượt là trực tâm của hai tam giác $BEC$ và $BFC$.
a) Chứng minh hai tam giác $ABC$ và $M{H}_1{H}_2$ có cùng trực tâm.
b) Đường thẳng $BC$ cắt hai đường thẳng $A^{\prime }D$, $H_1{H}_2$ lần lượt tại $K,T$. Gọi $S,G,I$ lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng $(M{H}_2,K{H}_1)$, $(K{H}_2,M{H}_1)$ và $(SG,H_1{H}_2)$. Gọi $X$ là hình chiếu vuông góc của $G$ lên $ST$. Chứng minh bốn điểm $S,X,I$ và trung điểm của đoạn thẳng $H_1{H}_2$ cùng nằm trên một đường tròn.

Cho tam giác $ABC$ có $b=8$, $c=5$ và $\hat{A}=60^{\circ }$. Độ dài cạnh $a$ bằng

Cho tam giác $ABC$ có $AB=7$, $AC=8$, $BC=\sqrt{57}$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

Cho tam giác $ABC$ có $AB=5$, $AC=7$, $\hat{A}=60^{\circ }$. Độ dài đường cao $h_c$ kẻ từ đỉnh $C$ xuống cạnh $AB$ là

Cho tam giác $ABC$ có $AB=6$, $AC=8$ và $\hat{A}=60^{\circ }$. Độ dài đường cao $h_C$ kẻ từ đỉnh $C$ xuống cạnh $AB$ là

Cho tam giác $ABC$ có $AC=8$, $BC=12$, $\widehat{ACB}=60^{\circ }$, $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.