Cho tam giác $ABC$ có $M$ là trung điểm $AB$, $N$ thuộc cạnh $AC$ thỏa mãn $AN=2NC$, $P$ thuộc đường thẳng $BC$ sao cho $AP$ cắt $MN$ tại trung điểm $I$ của $MN$. Biết rằng $\overrightarrow{BP}=\frac{a}{b}\overrightarrow{BC}\left(a,b\in \mathbb{Z};(a,b)=1\right)$. Tính $a+b$.

1. Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC và G là trọng tâm. Gọi E là trung điểm của AG. Tìm hai số m và n sao cho $\overrightarrow{CE}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{MG}$
2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A(2; 1), B(0; −2) và trực tâm H(−16; 10). Tìm tọa độ điểm C

1. Cho tam giác ABC đều tâm O. Lấy M tùy ý nằm trong tam giác ABC. Gọi F, D, E lần lượt là hình chiếu của M trên AB, BC, CA. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\frac{3}{2}\overrightarrow{MO}$
2. Cho đường tròn tâm O, bán kính R = 5, M là điểm cố định cách O một đoạn bằng 7. Gọi d là đường thẳng thay đổi luôn đi qua M và cắt (O) tại hai điểm phân biệt A và B. Tính $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}$

Cho hình bình hành $ABCD$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,DC$. $AN$ và $CM$ lần lượt cắt $BD$ tại $E,F$. Chứng minh rằng $\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{FB}$

Một vật đang ở vị trí $O$ chịu hai lực tác dụng ngược chiều nhau là ${\vec{F}}_1$ và ${\vec{F}}_2$, trong đó độ lớn lực ${\vec{F}}_2$ lớn gấp đôi độ lớn lực ${\vec{F}}_1$. Người ta muốn vật đứng lại nên cần tác dụng vào vật hai lực ${\vec{F}}_3,{\vec{F}}_4$ có phương hợp với lực ${\vec{F}}_1$ các góc $45^{\circ }$ như hình vẽ, chúng có độ lớn bằng nhau và bằng $20N$. Tìm độ lớn của lực ${\vec{F}}_2$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Nếu $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ thì khẳng định nào sau đây đúng?

Cho tứ giác $ABCD$. Gọi $M,N$ lần lượt trung điểm của $AB,CD$. Khi đó $\overrightarrow{MN}$ bằng?