Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn với $AB<AC$. Ba đường cao $AD,BE,CF$ cắt nhau tại $H$. Chứng minh $DA$ là phân giác góc $\widehat{EDF}$.

(AI giải đề cho tôi)
Chứng minh $DA$ là phân giác góc $\widehat{EDF}$:

Vì tam giác $ABC$ có ba góc nhọn nên các chân đường cao $D$, $E$, $F$ nằm trên các cạnh ($D$ thuộc $BC$, $E$ thuộc $AC$, $F$ thuộc $AB$).

Bước 1: Tứ giác $AEHF$ có $\widehat{AEH}=\widehat{AFH}=90^{\circ }$ (tổng hai góc đối bằng $180^{\circ }$) nên $AEHF$ nội tiếp đường tròn đường kính $AH$. Suy ra $\widehat{EHF}=180^{\circ }-\hat{A}$.

Bước 2: Vì $H$ nằm giữa $E$ và... ta có $\widehat{BHE}=180^{\circ }-\widehat{EHF}=\hat{A}$ ($E$, $H$, $B$ không thẳng hàng; $B$ và $F$ thuộc hai phía... chính xác: $\widehat{BHE}$ kề bù với $\widehat{EHF}$ vì $B$, $H$, $F$ thẳng hàng).

Bước 3: Tứ giác $BDHE$ có $\widehat{BDH}=\widehat{BEH}=90^{\circ }$ nên $BDHE$ nội tiếp đường tròn đường kính $BH$. Hai góc $\widehat{BDE}$ và $\widehat{BHE}$ cùng chắn cung $BE$ nên $\widehat{BDE}=\widehat{BHE}=\hat{A}$.

Bước 4: Vì $\widehat{ADB}=90^{\circ }$ nên $\widehat{ADE}=90^{\circ }-\widehat{BDE}=90^{\circ }-\hat{A}$.

Bước 5: Hoàn toàn tương tự, tứ giác $CDHF$ nội tiếp (có $\widehat{CDH}=\widehat{CFH}=90^{\circ }$) cho $\widehat{FDH}=\widehat{FCH}=\hat{A}$... cụ thể: $\widehat{FDH}=\widehat{FCH}$ (cùng chắn cung $FH$), mà $\widehat{FCH}=90^{\circ }-\hat{B}$... ta chứng minh trực tiếp: $\widehat{ADF}=90^{\circ }-\widehat{CDF}$ và $\widehat{CDF}=\widehat{CHF}$ (tứ giác $CDHF$ nội tiếp, cùng chắn cung $CF$), với $\widehat{CHF}=180^{\circ }-\widehat{EHF}=\hat{A}$ (vì $E$, $H$, $C$ thẳng hàng). Suy ra $\widehat{ADF}=90^{\circ }-\hat{A}$.

Vậy $\widehat{ADE}=\widehat{ADF}=90^{\circ }-\hat{A}$, tức $DA$ là phân giác góc $\widehat{EDF}$. $■$