Cho tam giác $ABC$ có $AB=3,AC=4,BAC=60^{\circ }$. Các điểm $M$, $N$, $P$, $H$ thỏa mãn điều kiện:

$\overrightarrow{BM}=-\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{AN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AP}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BH}=\frac{3}{13}\overrightarrow{BC}$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục $A(0,0)$, $B(3,0)$, $C(2,2\sqrt{3})$ (vì $AC=4$, góc $BAC=60^{\circ }$).
a) $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=3\cdot 4\cdot \cos 60^{\circ }=6\ne 5$ → sai.
b) $\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AP})+(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AP})=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}-\frac{4}{3}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}\ne \overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AN}$ → sai.
c) $M=B-\overrightarrow{BC}=(4,-2\sqrt{3})$, $N=(1,\sqrt{3})$, $P=(2,0)$. $\overrightarrow{MN}=(-3,3\sqrt{3})$, $\overrightarrow{NP}=(1,-\sqrt{3})=-\frac{1}{3}\overrightarrow{MN}$ → $M,N,P$ thẳng hàng → đúng.
d) $H=B+\frac{3}{13}\overrightarrow{BC}=\left(\frac{36}{13},\frac{6\sqrt{3}}{13}\right)$. $\overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{BC}=\frac{36}{13}(-1)+\frac{6\sqrt{3}}{13}\cdot 2\sqrt{3}=\frac{-36+36}{13}=0$ → $AH\perp BC$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=3\cdot 4\cdot \cos 60^{\circ }=6\ne 5$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}\ne \overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AN}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$M(4,-2\sqrt{3}),N(1,\sqrt{3}),P(2,0)$; $\overrightarrow{NP}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{MN}$ nên ba điểm thẳng hàng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{BC}=\frac{-36+36}{13}=0$ nên $AH\perp BC$.