Cho $P(n)=n^2-6n+10$ với $n$ là số tự nhiên. Có bao nhiêu giá trị của $n$ để $\frac{2P(n)-1}{n-3}$ là số nguyên

Câu 6 (2,0 điểm). Cho đa thức $P(x)$ có hệ số hữu tỉ, bậc 5 và $P\left(1+\sqrt[3]{3}\right)=25$. Chứng minh rằng tồn tại một tam thức bậc hai $Q(x)$ có hệ số hữu tỉ thỏa mãn
$$(P(-1)-25).(P(0)-25).(P(1)-25)+132.Q(-1).Q(0).Q(1)=0.$$

Câu 6 (6,0 điểm). Cho trước số nguyên $n>1$. Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ khác hằng với hệ số nguyên thỏa mãn tồn tại đa thức $Q(x)$ hệ số nguyên sao cho tất cả các hệ số của đa thức $P(x)Q(x)-1$ đều chia hết cho $n$.

(4,0 điểm) Cho đa thức $P(x)$ có các hệ số nguyên, biết rằng tồn tại ba số nguyên $x_1,x_2,x_3$ sao cho $P(x_1)=2025$, $P(x_2)=2026$ và $P(x_3)=2027$.

a) Chứng minh rằng $x_2$ là nghiệm nguyên duy nhất của phương trình $P(x)=2026$.

b) Chứng minh rằng phương trình $P(x)=2029$ có không quá một nghiệm nguyên.

Gọi một đa thức hệ số thực là monic nếu nó có hệ số của bậc cao nhất bằng 1.
(1) Xây dựng đa thức $f(x)$ có hệ số nguyên, bậc 29, monic, $2026\mid f(0)$ sao cho: $\forall n\in {\mathbb{Z}}^{+}$ mà $3\mid f(n)$ thì đều có $3^{42}\mid f(n)$.
(2) Cho số nguyên dương $k>1$ và số nguyên tố $p$ lẻ. Chứng minh rằng $k+v_p(k!)$ là giá trị lớn nhất của số nguyên dương $m$ sao cho tồn tại đa thức $f(x)$ hệ số nguyên bậc $k$, monic, $p\mid f(0)$ và thỏa mãn: $\forall n\in {\mathbb{Z}}^{+}$ mà $p\mid f(n)$ thì đều có $p^m\mid f(n)$.

Dãy số nguyên hữu hạn $a_1,a_2,\dots ,a_n$ được gọi là "đẹp" nếu $a_1<a_2<\cdots <a_n$ $(n\ge 2)$ và tồn tại hai đa thức $P(x)$, $Q(x)$ với hệ số nguyên có bậc dương sao cho:
$$(x-a_1)(x-a_2)\dots (x-a_n)+1=P(x)Q(x).$$
a) Chứng minh $P(x)=Q(x)$.
b) Tìm tất cả các dãy số nguyên "đẹp".