Câu 6 (6,0 điểm). Cho trước số nguyên $n>1$. Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ khác hằng với hệ số nguyên thỏa mãn tồn tại đa thức $Q(x)$ hệ số nguyên sao cho tất cả các hệ số của đa thức $P(x)Q(x)-1$ đều chia hết cho $n$.

(AI giải đề cho tôi)
Đáp số: $P(x)=a_0+a_{1}x+\cdots +a_k{x}^k$ ($k\ge 1$) với $\gcd (a_0,n)=1$ và $\mathrm{rad}(n)\mid a_i$ với mọi $i\ge 1$ (mỗi hệ số không hằng chia hết cho mọi ước nguyên tố của $n$).

**Phần thuận.** Giả sử tồn tại $Q$ hệ số nguyên với $PQ\equiv 1(\mathrm{mod}n)$; khi đó $P$ khả nghịch trong vành $R=(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})[x]$. Viết $P=a_0+\bar{P}$ với $\bar{P}\in (x)$, $Q=b_0+\bar{Q}$. So sánh hệ số tự do: $a_0{b}_0\equiv 1(\mathrm{mod}n)$, suy ra $\gcd (a_0,n)=1$. Với mỗi ước nguyên tố $p\mid n$, rút gọn modulo $p$: trong $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})[x]$ ta có $\bar{P}\cdot \bar{Q}\equiv 0$ (phần hằng khớp $a_0{b}_0\equiv 1$). Vì $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})[x]$ là miền nguyên và $\bar{Q}\ne 0$ (do $b_0\not\equiv 0(\mathrm{mod}p)$), nên $\bar{P}\equiv 0(\mathrm{mod}p)$, tức $p\mid a_i$ với mọi $i\ge 1$. Vậy $\mathrm{rad}(n)\mid a_i$ với mọi $i\ge 1$; khi đó mỗi $a_i$ là phần tử khả nil trong $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ (chọn $m$ đủ lớn để $\mathrm{rad}(n{)}^m\equiv 0(\mathrm{mod}n)$), nên $\bar{P}$ khả nil: ${\bar{P}}^m\equiv 0(\mathrm{mod}n)$.

**Phần đảo.** Giả sử $\gcd (a_0,n)=1$ và $\mathrm{rad}(n)\mid a_i(i\ge 1)$. Chọn $m$ sao cho $R^m\equiv 0(\mathrm{mod}n)$ với $R=P-a_0$. Gọi $c$ là số nguyên với $a_{0}c\equiv 1(\mathrm{mod}n)$, đặt
$$Q=\sum _{j=0}^{m-1}(-1{)}^j{c}^{j+1}{R}^j.$$
Các hệ số của $Q$ là số nguyên. Khi đó
$$PQ=(a_0+R)\sum _{j=0}^{m-1}(-1{)}^j{c}^{j+1}{R}^j=\sum _{j=0}^{m-1}(-1{)}^j{c}^{j+1}{a}_0{R}^j+\sum _{j=0}^{m-1}(-1{)}^j{c}^{j+1}{R}^{j+1}$$
$$=1+\sum _{j=1}^{m-1}(-1{)}^j{c}^{j+1}{a}_0{R}^j+\sum _{j=1}^m(-1{)}^{j-1}{c}^j{R}^j=1+(-1{)}^{m-1}{c}^m{R}^m\equiv 1(\mathrm{mod}n),$$
vì $a_{0}c\equiv 1(\mathrm{mod}n)$ và $R^m\equiv 0(\mathrm{mod}n)$. Vậy mọi hệ số của $PQ-1$ chia hết cho $n$.

**Kết luận.** Các đa thức cần tìm là $P(x)=a_0+a_{1}x+\cdots +a_k{x}^k$ ($k\ge 1$, khác hằng) với $\gcd (a_0,n)=1$ và $\mathrm{rad}(n)\mid a_i$ với mọi $1\le i\le k$.

Kiểm tra ví dụ: $n=4$, $P=1+2x$: lấy $Q=1-2x$ thì $PQ=1-4x^2\equiv 1(\mathrm{mod}4)$; còn $P=1+x$ không thỏa vì $x$ không khả nil modulo $4$.